第2章 第3节 函数的奇偶性与周期性、对称性（课件PPT）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 强基版）

第三节　函数的奇偶性与周期性、对称性 开始 1 01 02 03 夯实基础——主干知识理清练明 强化能力——常考题点逐一连通 激活思维——细节优化微点强化 2 第三节　函数的奇偶性与周期性、对称性 1.结合具体函数，了解奇、偶函数的概念和几何意义.　 2.结合三角函数，了解函数周期性的概念和几何意义. 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且 ，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于 对称 奇函数 设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且 ，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于 对称 f(－x)＝f(x) y轴 f(－x)＝－f(x) 原点 2．函数的周期性 周期 函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有 ，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期 最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 的正数，那么这个 就叫做f(x)的最小正周期 f(x＋T)＝f(x) 最小 最小正数 3．函数的对称性 (1)①若函数y＝f(x)关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)； ②若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数关于点(a,0)对称． (2)两个函数图象的对称 ①函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于y轴对称； ②函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于x轴对称； ③函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点轴对称． (1)①如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. ②如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (4)对称性的3个常用结论 ①若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． ②若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． ③若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称． 2．已知函数f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)＝2x＋2，则f(1)＝________. 3．(苏教版必修①P119·T5改编)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b 的值是________． 4．(北师大版必修②P4·T3改编)已知f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，且f(－1)＝2f(10)＋3，则f(2 023)＝________. 解析：由题意知f(2 023)＝f(3×674＋1)＝f(1)，而f(－1)＝2f(10)＋3，所以f(－1)＝2f(3×3＋1)＋3＝2f(1)＋3＝－2f(－1)＋3，即3f(－1)＝3，解得f(－1)＝1，故f(2 023)＝f(1)＝－1. 答案：－1 (2)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)； 当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)； 综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，所以函数f(x)为奇函数． [一“点”就过]　函数奇偶性的判定方法 考法二　函数奇偶性的应用 角度1　利用奇偶性求解析式 [例1]　(2019·全国卷Ⅱ)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)＝ (　 ) A．e－x－1 B．e－x＋1 C．－e－x－1 D．－e－x＋1 [解析]　当x<0时，－x>0， ∵当x≥0时，f(x)＝ex－1，∴f(－x)＝e－x－1. 又∵f(x)为奇函数，∴当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1. [答案]　D 角度2　利用奇偶性求函数值 [例2]　(2023·哈尔滨模拟)函数f(x)＝x(ex＋e－x)＋1在区间[－2,2]上的最大值与最小值分别为M，N，则M＋N的值为 (　 ) A．－2 B．0 C．2 D．4 [解析]　依题意，令g(x)＝x(ex＋e－x)，显然函数g(x)的定义域为R， 则g(－x)＝－x(e－x＋ex)＝－g(x)，即函数g(x)是奇函数， 因此