第3章 第3节 第5课时 技法先导——双变量问题(含极值点偏移)（课件PPT）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 旗舰版）

《◇第五课时 技法先导—双变量问题（含极值 点偏移) 第五课时技法先导一双变量问题（含极值点偏移） 方法一利用函数的单调性解决双变量问题 [典例已知函数fx)=x2+(c-1)e. (1)求fx)的极值： 2)当>≥1时，求证：)-f2)4 x1一x2x1X2 [解题微点] (1)求出函数x)的导数f”x)及零点，再探讨f)在零点 左右值的符号即可作答； 切入点 (2)在给定条件下，将所证不等式等价变形，再构造函数， 借助单调性推理作答 障碍点 把不等式)-4 变形后，构造函数 x1-2K1x2 [解] (1)函数fx)=x2+(x一1)e定义域为R,求导得fc)=2x十er+c 一1)er=x(er+2),由fx)=0得x=0, 当r<0时，x)<0,当>0时，(x)>0,即fx)在（一∞，0）单调递减， 在(0，+∞)单调递增， 所以当x=0时，x)取极小值f0)=一1，无极大值. 2)证明：因>x1≥1，有1-<0， fx1）-f2),4日fx) X1一X2 fx2)< 令g侧=四+是2+e-1e+c≥0，求导得g'似)=2x+e-是， 当21时，2x+e=2+e≥2+e40≤4，即2x十e-是0， 则g'x)>0, 因此，g(x)在1，+∞)单调递增，当x2>x1≥1时，g(2)>gc),即fx) ++ 所以当≥1时，)二4成立. XI-X2 X1X2 [方法技巧] 对于双变量不等式问题，我们先合x<x2, 再通过适当的变形，使得 等式两边均只含有一个变量，且形式相同，这样我们可以合这个相同的形 式为gx),问题也就转化成了gx)的单调性问题 [针对训练] 已知函数fx)=(a+1)1nx+ax2+1. (1)当a=2时，求曲线y=fx)在(1，f1)处的切线方程； (2)设a≤-2，证明：对任意x1,x2∈(0，+∞)，x)一x2)≥4K1一x 解：(1).当a=2时，fx)=3nx+2x2+1, .f1)=3,切点为(1,3)， 求导∫侧+4，切线斜率k=①=. ∴.曲线y=fx)在(1，f1)处的切线方程为y=7x一4. a+1 2)证明：“a≤-2，w的定义域为(0，+o),求导f()=“x+2ax 2a2+a+1<0, x ∴fx)在(0，+∞)单调递减. 不妨假设1≥x2,∴.x)一fx2训≥4x1一x2等价于fx2)一x)≥4x1一4x2 即fx2)+4x2≥f)+4x1. 令g四=+，则g回=中1+2十4 2ax2+4x+a+1 :a≤-2，e0,gW≤-4+4=1-2x-10. 从而g(x)在(0，+∞)单调递减，故g(c)≤gc2),即f2)+4x2≥1)+41， 故对任意1，x2∈(0，+∞)，x1)一fx2训≥4x一x2 方法二利用换元法解决双变量问题 [典例 a(x-1) 已知函数f)=nx-x+1, (1)若函数fx)在(0，十∞)为单调增函数，求a的取值范围： 2设m产0，求证：n州0”” 2m十n [解题微点] (1)对函数进行求导并解不等式f)≥0，转化为二次不等式x2+ 切入点 (2-2水+1≥0在(0，+∞恒成立问题； 2)将所证不等式转化为以为主元的不等式，再构造函数进行证明 对不等式nm一nn“2 m一nm十n 变形并据此构造函数，把不等式的证明 障碍点