第3章 第3节 第4课时 题型精研——利用导数研究函数的零点问题（课件PPT）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 旗舰版）

第四课时 题型精研——利用导数研究函数 的零点问题 1 第四课时　题型精研——利用导数研究函数的零点问题 [典例]　(2023·日照模拟)已知函数f(x)＝(x－2)ex－ax＋aln x(a∈R)． (1)当a＝－1时，求函数f(x)的单调区间； (2)当a<e时，讨论f(x)的零点个数. 故0<x<1时，g′(x)<0，g(x)单调递减；x>1时，g′(x)>0，g(x)单调递增； 所以g(x)min＝g(1)＝－e， 又由x→0时，g(x)→0，当x→＋∞时，g(x)→＋∞， 函数g(x)的图象，如图所示， 结合图象可得， 当a<－e时，无零点； 当a＝－e或0≤a<e时，一个零点； 当－e<a<0时，两个零点． [方法技巧] 利用导数研究方程根(函数零点)的一般方法 (1)研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等； (2)根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置； (3)数形结合去分析问题，可以使问题的求解过程有一个清晰、直观的整体展现．　　 [方法技巧] 和函数零点有关的参数范围问题 (1)函数在定义域上单调，满足零点存在性定理． (2)若函数不是严格的单调函数，则求最小值或最大值结合图象分析． (3)分离参数后，数形结合，讨论参数所在直线与函数图象交点的个数．　　 [针对训练] (2023·太原模拟)已知函数f(x)＝ax2－ex. (1)若函数f(x)的图象与直线y＝－x＋1相切，求实数a的值； (2)若函数g(x)＝f(x)＋x－1有且只有一个零点，求实数a的取值范围． “课时跟踪检测”见“课时跟踪检测(二十三)” (单击进入电子文档) 22 谢 谢 观 看 23 eq \a\vs4\al(考法一　函数零点个数的确定问题) 切入点 (1)当a＝－1时，求得f′(x)＝(x－1)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex＋\f(1,x)))，结合导数的符号，求得函数的单调区间； (2)根据题意得到a＝eq \f(x－2ex,x－ln x)，令g(x)＝eq \f(x－2ex,x－ln x)，求得g′(x)＝eq \f(exx－1,x－ln x2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－ln x＋\f(2,x)－1))，令h(x)＝x－ln x＋eq \f(2,x)－1，利用导数求得函数的单调性和最小值，进而求得函数g(x)的单调性与最值，即可求解 关键点 分离参数a，把讨论f(x)的零点个数问题转化为直线y＝a与函数图象的交点问题 [解]　(1)当a＝－1时，f(x)＝(x－2)ex＋x－ln x， 则f′(x)＝(x－1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex＋\f(1,x)))，当x∈(0，＋∞)时，ex＋eq \f(1,x)>0恒成立， 所以当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 即f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，＋∞)． (2)由题意，函数f(x)＝(x－2)ex－ax＋aln x＝(x－2)ex－a(x－ln x)，x>0， 设m(x)＝x－ln x，x>0，则m′(x)＝1－eq \f(1,x)＝eq \f(x－1,x)， 当x∈(0,1)时，m′(x)<0，m(x)单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，m′(x)>0，m(x)单调递增， 又由m(1)＝1，所以m(x)≥1， 令f(x)＝0，可得(x－2)ex－ax＋aln x＝0，所以a＝eq \f(x－2ex,x－ln x)(x>0)， 令g(x)＝eq \f(x－2ex,x－ln x)，可得g′(x)＝eq \f(exx－1,x－ln x2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－ln x＋\f(2,x)－1))， 令h(x)＝x－ln x＋eq \f(2,x)－1，则h′(x)＝1－eq \f(1,x)－eq \f(2,x2)＝eq \f(x2－x－2,x2)＝eq \f(x－2x＋1,x2)(x>0)， 可得0<x<2时，h′(x)<0，h(x)单调递减；x>2时，h′(x)>0，h(x)单调递增； 所以h(x)min＝h(2)＝2－ln 2>0，即x>0时，h(x)>0恒成立； [针对训练] (2023·四川石室中学模拟)已知函数f(x)＝ln x－eq \i\su(k＝1,n, ) eq \f(－1k－1·x－1k,k). (1)分别求n＝1和n＝2时函数f(x)的单调性； (2)求函数f(x)的零点个数． 解：(1)由已知，