第3章 第3节 第3课时 题型精研——利用导数证明不等式（课件PPT）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 旗舰版）

第三课时 题型精研——利用导数证明不等式 1 [方法技巧] 待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”或“右减左”的函数，利用导数研究其单调性等相关函数性质证明不等式．　　 [针对训练] 已知函数f(x)＝xln x＋ax. (1)讨论函数f(x)在区间[1，＋∞)的单调性； (2)当a＝－3时，证明：f(x)≥－x2－2. 解：(1)f(x)＝xln x＋ax，定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝ln x＋1＋a，又x≥1，f′(x)＝ln x＋1＋a≥1＋a， 所以当a≥－1时，f′(x)≥0恒成立，函数f(x)在[1，＋∞)单调递增； 当a<－1时，令f′(x)＝ln x＋1＋a＝0，解得x＝e－a－1，当x<e－a－1时，f′(x)<0， 当x>e－a－1时，f′(x)>0，所以函数f(x)在[1，e－a－1)单调递减，在(e－a－1，＋∞)单调递增． 综上，当a≥－1时，函数f(x)在[1，＋∞)单调递增； 当a<－1时，函数f(x)在[1，e－a－1)单调递减，在(e－a－1，＋∞)单调递增． 令g′(x)＝0，解得x＝1或x＝－2(舍). 可得函数g(x)在(1，＋∞)单调递增，在(0,1)单调递减， 所以g(x)≥g(1)＝1＋2＋0－3＝0， 故不等式f(x)≥－x2－2成立． x (0,1) 1 (1，＋∞) g′(x) － 0 ＋ g(x) 单调递减 极小值 单调递增 [解题微点] [方法技巧] (1)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，则可以考虑转化为两个函数的最值问题． (2)在证明过程中，“隔离化”是关键．如果证g(x)≥f(x)恒成立，只需证g(x)min≥f(x)max恒成立，但只有当f(x)与g(x)取到最值的条件是同一个x的值时取等号，否则只能得到g(x)>f(x)．　　 [针对训练] 已知f(x)＝x2－xln x. (1)求曲线 y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程； (2)当a∈(0,2e)时，证明：2x2－(2x＋a)ln x>0. 解：(1)因为f(x)＝x2－xln x，则f(1)＝1，f′(x)＝2x－ln x－1， 则f′(1)＝1，所以所求切线方程为y－1＝1×(x－1)，即y＝x. [解题微点] [解]　(1)由题意，函数f(x)＝xln x－ax＋1，可得f′(x)＝ln x＋1－a， 令f′(x)>0，可得x>ea－1，令f′(x)<0，可得0<x<ea－1， 所以f(x)在(0，ea－1)单调递减，在(ea－1，＋∞)单调递增， 所以f(x)min＝f(ea－1)＝1－ea－1， 当a<1时，f(ea－1)＝1－ea－1>0，此时f(x)没有零点， 当a＝1时，f(ea－1)＝1－ea－1＝0，此时f(x)有且只有一个零点． 综上，当a<1时，f(x)没有零点； 当a＝1时，f(x)有且只有一个零点． [方法技巧] 导数方法证明不等式中，最常见的是ex和ln x与其他代数式结合的问题，对于这类问题，可以考虑先对ex和ln x进行放缩，使问题简化，简化后再构建函数进行证明．常见的放缩公式如下：(1)ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号．(2)ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取等号．　　 [针对训练] 已知函数f(x)＝aex－1－ln x－1. (1)若a＝1，求f(x)在(1，f(1))处的切线方程； (2)证明：当a≥1时，f(x)≥0. ∴φ′(x)在(0，＋∞)单调递增，又φ′(1)＝0， ∴当x∈(0,1)时，φ′(x)<0； 当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)>0， ∴φ(x)在(0,1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增， ∴φ(x)min＝φ(1)＝0，∴φ(x)≥0，∴f(x)≥φ(x)≥0，即证f(x)≥0. 法二：令g(x)＝ex－x－1， ∴g′(x)＝ex－1. 当x∈(－∞，0)时，g′(x)<0； 当x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0， ∴g(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增， ∴g(x)min＝g(0)＝0， 故ex≥x＋1，当且仅当x＝0时取“＝”． 同理可证ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取“＝”． 由ex≥x＋1⇒ex－1≥x(当且仅当x＝1时取“＝”)，由x－1≥ln x⇒x≥ln x＋1(当且仅当x＝1时取“＝”)，∴ex－1≥x≥ln x＋1， 即ex－1≥ln x＋1， 即ex－1－ln x－1≥0(当且仅当x＝1时取“＝”)，即证得f(x)≥0. “课时跟踪检测”见“课时跟踪检测(二十二)” (单击进入电子文档) 28 谢 谢 观 看 29 第三课时　题型精研——利用导数证明不等式 eq \a\vs4\al(方法一　将不等式的证明转化为函数的最值问题)