第2章 第2节 第4课时 函数性质的综合应用(二)（课件PPT）-【新高考方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考 旗舰版）

第四课时 函数性质的综合应用(二) 1 [方法技巧] 函数的对称性与单调性相结合的题目主要是利用对称性判断函数在区间的单调性，在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反．在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同．　　 [针对训练] 1．已知定义域为R的函数f(x)满足f(1－x)＝－f(7＋x)，且f(x)在区间[4，＋∞)上单调递增，如果x1<4<x2，且x1＋x2>8，则f(x1)＋f(x2)的值(　 ) A．可正可负 B．恒为正 C．可能为0 D.恒为负 解析：由题意可得f(7＋x)＋f(1－x)＝0，故函数f(x)的图象关于点(4,0)对称，因为函数f(x)在区间[4，＋∞)上单调递增，则函数f(x)在(－∞，4]上也为增函数，因为x1<4<x2且x1＋x2>8，则8－x2<x1<4，所以，f(x1)＋f(x2)＝f(x1)－f(8－x2)>0. 答案：B　 2．已知定义在R上的函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，且f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则 (　 ) A．f(0.20.3)<f(41.1)<f(log30.5) B．f(0.20.3)<f(log30.5)<f(41.1) C．f(41.1)<f(0.20.3)<f(log30.5) D．f(log30.5)<f(0.20.3)<f(41.1) 解析：依题意可得，f(x)的图象关于直线x＝1对称，因为0.20.3∈(0,1)，log30.5＝－log32∈(－1,0)，41.1∈(4,8)，则|0.20.3－1|<|log30.5－1|<|41.1－1|，又f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以f(0.20.3)<f(log30.5)<f(41.1)． 答案：B　 [典例]　(2022·海口二模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，函数g(x)＝|x－2|f(x)的图象关于直线x＝2对称，若f(－1)＝－1，则g(3)＝(　 ) A．5 B．1 C．－1 D.－5 [解析]　因为g(x)的图象关于x＝2对称，则g(x＋2)＝|x|f(x＋2)是偶函数，g(2－x)＝|－x|f(2－x)＝|x|f(2－x)，且g(x＋2)＝|x|f(x＋2)，所以，|x|f(2－x)＝|x|f(2＋x)对任意的x∈R恒成立，所以，f(2－x)＝f(2＋x)，因为f(－1)＝－1且f(x)为奇函数，所以，f(3)＝f(2＋1)＝f(2－1)＝－f(－1)＝1，因此，g(3)＝|3－2|f(3)＝f(1)＝1. [答案]　B 解决函数奇偶性与图象的对称性的综合问题时，要注意把已知函数的奇偶性按定义转化，再判断函数图象的对称轴或对称中心；也可利用图象变换关系得出函数图象的对称性．总之，要充分利用已知条件进行适当转化．　　 [针对训练] 1．设函数 f(x)＝ax3－x－3＋a，若函数f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，则a＝ (　 ) A．－1 B．0 C．1 D.2 解析：因为函数f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，故函数f(x)的图象关于点(0,0)对称，即f(x)为奇函数，故f(－x)＋f(x)＝a(－x)3－(－x)－3＋a＋ax3－x－3＋a＝2a＝0，所以a＝0. 答案：B　 2．(2023·抚顺模拟)函数y＝f(2x－1)是R上的奇函数，函数y＝f(x)图象与函数y＝g(x)关于y＝－x对称，则g(x)＋g(－x)＝ (　 ) A．0 B．－1 C．2 D.1 解析：函数y＝f(2x－1)是R上的奇函数，则－f(－2x－1)＝f(2x－1)，设2x－1＝t，则f(t)＝－f(－2－t)，则函数y＝f(x)的图象关于点(－1,0)对称，函数y＝f(x)图象与函数y＝g(x)关于y＝－x对称，所以函数y＝g(x)的图象关于(0,1)对称，所以g(x)＋g(－x)＝2. 答案：C　 (2)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，且y＝f(x＋3)为偶函数．若f(x)在(0,3)上单调递减，则下列结论正确的是 (　 ) [解析]　(1)由y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，可得g(2＋x)＝g(2－x)．在f(x)＋g(2－x)＝5中，用－x替换x，可得f(－x)＋g(2＋x)＝5，可得f(－x)＝f(x)　①，y＝f(x)为偶函数．在g(x)－f(x－4)＝7中，用2－x替换x，得g(2－x)＝f(－x－2)＋7，代入f(x)＋g(2－x)＝5中，得f(x)＋f(－x－2)＝－2　②，所以y＝f(x)的图象关于点(－1，－1)中心对称，所以f(1)＝f(－1)＝－1.由①②可得f(x)＋f(x＋2)＝－2，所以f(x＋2)＋f(x＋4)＝－2，所以f(x＋4)＝f(x)，所以函