暑假衔接：空间直角坐标系讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

----------------------------------------------------------- ---------------------------------------------- 暑假高二衔接：空间直角坐标系教学案 一、主讲知识 【知识点讲解1】 空间直角坐标系 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分别以i，j，k方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴，y轴，z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立 ，O叫做 ， i，j，k都叫做 。 对于空间任意一个向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3，则把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作 。 【讲透例题1】 例1、已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且PA＝AD＝1，建立适当坐标系，求向量的坐标． 【相似题练习1】 如图在边长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，取D点为原点建立空间直角坐标系，O，M分别是AC，DD1的中点，写出下列向量的坐标.＝________，＝________. 【小结】建系时要充分利用图形的线面垂直关系，选择合适的基底，在写向量的坐标时，考虑图形的性质，充分利用向量的线性运算，将向量用基底表示． 【知识点梳理2】 空间向量坐标运算 1、空间向量的坐标运算 空间向量a，b，其坐标形式为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3). 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝ 减法 a－b a－b＝ 数乘 λa λa＝ 数量积 a·b a·b＝ 2、空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3). 向量表示 坐标表示 加法 a＋b (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b (a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 |a| 夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝ 【讲透例题2】 例1、已知，，则（ ） A．(2，－4，2) B．(－2，4，－2) C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3) 【相似题练习2】 1、已知空间三点，，，若，且，则点的坐标为（ ） A． B． C．或 D． 或 2、(1)设a＝(1，－1，3)，b＝(－2，1，2)，则a＋2b＝________. (2)设a＝(1，－1，1)，b＝(－2，0，1)，则cos〈a，b〉＝________. (3)已知点A(－1，2，0)，B(－1，0，2)，则||＝________. 3、已知四点，，，，且，则x，y的值分别为（ ） A．3，1 B．4， C．3，-1 D．1，1 4、与向量平行的一个向量的坐标是(　　) A． B．(-1,-3,2) C． D．(,-3,-2) 5、已知点A（1，2，3），B（0，1，2），C（﹣1，0，λ），若A，B，C三点共线，则__． 6、已知向量，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 7、下列向量中与向量平行的向量是（ ） A． B． C． D． 8、已知向量，，若，则k的值等于（ ） A．1 B． C． D． 9、在空间直角坐标系O﹣xyz中,点A（2,﹣1,3）关于yOz平面对称的点的坐标是( ) A．（2,1,3） B．（﹣2,﹣1,3） C．（2,1,﹣3） D．（2,﹣1,﹣3） 10、若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，且满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________. 11、已知. （1）若，分别求λ与m的值；（2）若，且与垂直，求. 二、课堂练习 1.已知向量a＝(0，2，1)，b＝(－1，1，－2)，则a与b的夹角为(　　) A.0° B.45° C.90° D.180° 2.设O为坐标原点，M(5