暑假高二衔接：空间向量研究立体几何距离、夹角 教学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

----------------------------------------------------------- --------------------------------------------- 暑假高二衔接：空间向量研究立体几何距离、夹角教学案 一、主讲知识 【知识点讲解1】 距离问题 空间距离的向量求法 分类 向量求法 两点距 设A、B为空间中的任意两点，则d＝|AB| 点线距 设直线l的单位方向向量为u，A∈l，P∉l，设＝a，则点P到直线l的距离d＝ 点面距 已知平面α的法向量为n，A∈α，P∉α，则点P到平面α的距离为d＝ 【讲透例题1】 例1、如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2.求点A到平面MBC的距离． 【相似题练习1】 1、在长方体OABC­O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，求O1到直线AC的距离． 2、在棱长为的正方体中，是的中点，则点到平面的距离是（　　） A． B． C． D． 3、如图所示，ABCD-EFGH为边长等于1的正方体，若P点在正方体的内部且满足，则P点到直线AB的距离为________． 4、四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AA1＝3，底面是边长为4且∠DAB＝60°的菱形，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，E是O1A的中点，则点E到平面O1BC的距离为（ ） A．2 B．1 C． D．3 5、如图，已知四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，. （1）求证：； （2）求点到平面的距离. 【知识点讲解2】求两条异面直线所成的角 空间角的向量求法 角的分类 向量求法 范围 两异面直线l1与l2所成的角为θ 设l1与l2的方向向量分别为u，v，则cosθ＝|cos<u，v>|＝ 【讲透例题2】 例1、如图，在三棱柱OAB­O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小． 【相似题练习2】 1、已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 2、在直三棱柱中，，则直线与直线夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 3、在正四棱锥中，侧棱，底面边长，是在平面内的射影，是的中点，则异面直线与所成角为（ ） A． B． C． D． 4、如图，在三棱锥中，已知，，平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【知识点讲解3】直线与平面所成的角 空间角的向量求法 角的分类 向量求法 范围 两异面直线l1与l2所成的角为θ 设l1与l2的方向向量分别为u，v，则cosθ＝|cos<u，v>|＝ 直线l与平面α所成的角为θ 设l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos<u，n>|＝ 【讲透例题3】 例1、如图，已知三棱柱ABC­A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点． (1)证明：EF⊥BC； (2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值． 【相似题练习3】 1、在正方体ABCD­A1B1C1D1中，若F，G分别是棱AB，CC1的中点，则直线FG与平面A1ACC1所成角的正弦值等于(　　) A． B． C． D． 2、在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 3、如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为__________． 4、如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，，，且． （1）若点F为上一点且，证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 5、如图四棱锥的底面是正方形，，点在棱上，为与的交点． （1）求证：平面平面； （2）当为的中点时，求证：平面； （3）当是正三角形时，且为的中点时，求与平面所成的角的正弦值． 【知识点讲解4】平面与平面的夹角 空间角的向量求法 角的分类 向量求法 范围 两异面直线l1与l2所成的角为θ 设l1与l2的方向向量分别为u，v，则cosθ＝|cos<u，v>|＝ 直线l与平面α所成的角为θ 设l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos<u，n>|＝ 平面α与平面β的夹角为θ 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos<n1，n2>|＝ 【讲透例题4】 例1、如图，四棱柱ABCD­A1