暑假衔接：空间向量在立体几何中的应用讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

----------------------------------------------------------- ---------------------------------------------- 暑假高二：空间向量在立体几何中的应用教学案 一、主讲知识 【知识点讲解1】 求平面的法向量 平面的法向量的定义 直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量． 【讲透例题1】 例1、四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1.在如图所示的坐标系A­xyz中，分别求平面SCD和平面SAB的一个法向量． 【相似题练习1】 1、已知三点A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面ABC的一个法向量． 2、若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（ ） A． B． C． D．与斜交 3、（多选）已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（ ） A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是 C．和夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是 【知识点讲解2】利用空间向量证明线线平行、线面、面面平行 线线平行 设两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别为u1＝(a1，b1，c1)，u2＝(a2，b2，c2)，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2) 线面平行 设l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，α的法向量为n＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔u·n＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 面面平行 设α，β的法向量分别为n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔n1∥n2⇔(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2) 【讲透例题2】 例1、在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点． 求证：PQ∥RS. 例2、在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD. 【相似题练习2】 1、如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形． 2、若直线的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是（ ） A．， B．， C．， D．， 3、若是平面的一个法向量，且，与平面都平行，则向量等于（ ） A． B． C． D． 4、已知两个不同的平面，的法向量分别是和，则平面，的位置关系是________. 5、已知，，. （1）求平面的一个法向量； （2）证明:向量与平面平行. 6、如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，.平面的法向量________. 【知识点讲解3】利用空间向量证明线线垂直、线面垂直、面面垂直 线线垂直 设直线l1的方向向量为u＝(a1，a2，a3)，直线l2的方向向量为v＝(b1，b2，b3)，则l1⊥l2⇔u·v＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 线面垂直 设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是n＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔u∥n⇔u＝λn⇔(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)(λ∈R) 面面 垂直 设平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量n2＝(a2，b2，c2)，则α⊥β ⇔ n1⊥n2 ⇔n1·n2＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 【讲透例题3】 例1、在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为AC的中点．求证：(1)BD1⊥AC； (2)BD1⊥EB1. 例2、如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是B1B，DC的中点，求证：AE⊥平面A1D1F. 例3、如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点，证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C. 【相似题练习3】 1、若平面，且平面的一个法向量为，则平面的法向量可以是（ ） A． B． C． D． 2、已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，，.对于结论：①；②；③是平面的法向量；④.其中正确的是（ ） A．②④ B．②③ C．①③ D．①② 3、（多选题）已知为直线l的方向向量，分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），那么下列选项中，正确的是（ ） A．∥⇔α∥β B．⊥⇔α⊥β C．∥⇔l∥α D．⊥⇔l∥α 4、（多选题）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ） A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B．直线的方向向量，平面的法向量是，则 C．两个不同的平面，的法向量分别是，，则 D