第11讲 拓展五：圆锥曲线的方程（定值问题）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第一册）

第11讲 拓展五：圆锥曲线的方程（定值问题） 一、知识点归纳 在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值、角度等基本量与参变量无关，这类问题统称为③定值问题．对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高,这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用． 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种： ① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； ② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程或函数，利用等量关系统一变量，最后消元得出定值。 常考题型： ①与面积有关的定值问题；②与角度有关的定值问题；③与比值有关的定值问题； ④与参数有关的定值问题；⑤与斜率有关的定值问题 二、题型精讲 题型01圆锥曲线中的定点问题 【典例1】（2023春·四川自贡·高二统考期末）已知椭圆的离心率为，右顶点． (1)求椭圆的标准方程； (2)、为椭圆上的不同两点，设直线，的斜率分别为，，若，判断直线是否经过定点并说明理由． 【典例2】（2023秋·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末）已知椭圆的左顶点为.椭圆的离心率为并且与直线相切. (1)求椭圆的方程； (2)斜率存在且不为0的直线交椭圆于，两点（异于点），且.则直线是否恒过定点，如果过定点求出该定点坐标，若不过定点请说明理由. 【典例3】（2023春·浙江杭州·高二校联考期中）已知双曲线：的离心率为，且过． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于两点，是的右顶点，且直线与的斜率之积为，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标． 【典例4】（2023春·广东佛山·高二石门中学校考阶段练习）已知为抛物线的焦点，为抛物线在第一象限上的一点，且轴，． (1)求抛物线的标准方程； (2)已知直线与抛物线交于、两点，且以为直径的圆过点，证明：直线过定点． 【变式1】（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知椭圆C：经过圆：的圆心，C的左焦点F到圆上的点的距离的最小值为． (1)求C的标准方程． (2)过点F作斜率之积为－1的两条直线，，与C相交于A，B两点，与C相交于M，N两点，点P，Q分别满足，，问：直线PQ是否过定点?若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由． 【变式2】（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知双曲线：（，）的离心率为，右顶点到渐近线的距离等于. (1)求双曲线的方程. (2)点，在上，且，直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 【变式3】（2023·全国·高三对口高考）已知抛物线S的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，的三个顶点都在抛物线上，且的重心为抛物线的焦点，若所在直线l的方程为． (1)求抛物线S的方程； (2)若O是坐标原点，P，Q是抛物线S上两动点，且满足．试说明动直线是否过定点． 题型02圆锥曲线中的定值问题 【典例1】（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知椭圆过点，点与关于原点对称，椭圆上的点满足直线与直线的斜率之积为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆相交于两点，已知点，点与关于原点对称，讨论：直线的斜率与直线的斜率之和是否为定值？如果是，求出此定值；如果不是，请说明理由.    【典例2】（2023·广东佛山·校联考模拟预测）已知是圆上一动点，定点，线段的垂直平分线与直线交于点，记点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若直线与曲线恰有一个共点，且与直线，分别交于、两点，的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由． 【典例3】（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知点为直线上的动点，过点作射线（点位于直线的右侧）使得，设线段的中点为，设直线与轴的交点为. (1)求动点的轨迹的方程. (2)设过点的两条射线分别与曲线交于点，设直线的斜率分别为，若，请判断直线的斜率是否为定值以及其是否过定点，若斜率为定值，请计算出定值；若过定点，请计算出定点. 【变式1】（2023春·湖南湘潭·高二校联考期末）已知直线过点且与圆：交于，两点，过的中点作垂直于的直线交于点，记的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程 (2)设曲线与轴的交点分别为，，点关于直线的对称点分别为，过点的直线与曲线交于两点，直线相交于点.请判断的面积是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由. 【变式2】（2023春·安徽·高二马鞍山二中校联考阶段练习）已知双曲线的标准方程为，其中点为右焦点，过点作垂直于轴的垂线，在第一象限与双曲线相交于点，过点作双曲线渐近线的垂线，垂足为，若，. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点作的平行线，在直线上任取一点，连接与双曲线相交于点，求证点到直线的距离是定值. 【变式3】（2023春·广