第10讲 拓展四：圆锥曲线的方程（面积问题）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第一册）

第10讲 拓展四：圆锥曲线的方程（面积问题） 一、知识点归纳 知识点一：三角形面积问题 直线方程： 知识点二：焦点三角形的面积 直线过焦点的面积为 注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数 知识点三：平行四边形的面积 直线为，直线为 注意：为直线与椭圆联立后消去后的一元二次方程的系数. 知识点四：范围问题 首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数 均值不等式 变式： 作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值； 当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值 注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等” 圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举： （1）（注意分三种情况讨论） （2） 当且仅当时，等号成立 （3） 当且仅当时等号成立. （4） 当且仅当时，等号成立 (5) 当且仅当时等号成立. 二、题型精讲 题型01椭圆中三角形（四边形）的面积问题（定值） 【典例1】（2023春·广东广州·高二统考期末）已知椭圆的焦点坐标为、，点为椭圆上一点. (1)求椭圆的标准方程； (2)经过点且倾斜角为的直线与椭圆相交于、两点，为坐标原点，求的面积. 【典例2】（2023春·河南南阳·高二校联考阶段练习）已知椭圆C：的一个焦点为，且离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)若过椭圆C的左焦点，倾斜角为的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积． 【典例3】（2023春·湖北·高二黄石二中校联考阶段练习）已知圆，圆，动圆与圆相外切，与圆相内切. (1)求动圆的圆心的轨迹方程； (2)过点的两直线，分别交动圆圆心的轨迹于、和、，.求四边形的面积. 【变式1】（2023·湖南长沙·长郡中学校考二模）已知圆是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径相交于点，当点运动时，点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线相交于点，与轴相交于点，过点的另一条直线与相交于两点，且的面积是面积的倍，求直线的方程．    【变式2】（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模）已知是椭圆的左顶点，是椭圆上不同的两点． (1)求椭圆的焦距和离心率； (2)设，若，且、、和、、分别共线，求证：三点共线； (3)若是椭圆上的点，且，求的面积． 【变式3】（2023春·湖北荆州·高二统考阶段练习）已知椭圆C：的上顶点为K，左右顶点分别为A，B，，的周长为． (1)求椭圆C的方程； (2)O为坐标原点，O，B关于直线L对称，过直线L与x轴的交点作斜率为k的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N（异于A，B两点），直线AM，AN分别交直线L于P，Q两点，当四边形APBQ的面积为4时，求k的值． 题型02椭圆中三角形（四边形）的面积问题（最值或范围） 【典例1】（2023春·贵州·高二贵州师大附中校联考阶段练习）已知为坐标原点，椭圆的离心率为，的上顶点到右顶点的距离为. (1)求的方程； (2)，为上的动点，设直线，的斜率分别为，，且.求的面积的最大值. 【典例2】（2023春·江西赣州·高二校联考阶段练习）已知的两顶点坐标． (1)求动点的轨迹的方程； (2)不垂直于轴的动直线与轨迹相交于两点，定点，若直线关于轴对称，求面积的取值范围． 【典例3】（2023春·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习）已知点，动点满足直线与的斜率之积为.记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程，并说明是什么曲线； (2)设为曲线上的两动点，直线的斜率为，直线的斜率为，且. ①求证：直线恒过一定点； ②设的面积为，求的最大值. 【变式1】（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，的周长为8，且点在上． (1)求椭圆的方程； (2)设直线与圆：交于C，D两点，当时，求面积的取值范围．    【变式2】（2023春·上海黄浦·高三上海市大同中学校考阶段练习）已知椭圆． (1)求该椭圆的离心率； (2)设点是椭圆C上一点，求证：过点P的椭圆C的切线方程为； (3)若点M为直线l：x=4上的动点，过点M作该椭圆的切线MA，MB，切点分别为，求△的面积的最小值． 【变式3】（2023·北京大兴·校考三模）已知椭圆过点，且离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)直线分别交椭圆于、两点，若线段的中点在直线上，求面积的最大值. 题型03双曲线中三角形（四边形）的面积问题（定值） 【典例1】（2023春·上海宝山·高二上海交大附中校考期中）已知双曲线，及直线. (1)若与有且只有一个公共点，求实数的值； (2)若与的左右两支分别交于A、B两点，且的面积为，求实数的值. 【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C：的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为1． (