专题3.1 椭圆-2023-2024学年高二数学知识•考点培优讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题3.1椭圆 知识点一 椭圆的定义 1.椭圆的概念 (1)文字形式：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点 ，两焦点间的距离叫做焦距． (2)代数式形式：集合 ①若，则集合P为椭圆； ②若，则集合P为线段； ③若，则集合P为空集． 知识点二 椭圆的标准方程 1. 椭圆的标准方程： （1）焦点在轴，； （2）焦点在轴，. 2．满足条件： 知识点三 椭圆的几何性质 椭圆的标准方程及其几何性质 条件 图形 标准方程 范围 对称性 曲线关于轴、原点对称 曲线关于轴、原点对称 顶点 长轴顶点 ,短轴顶点 长轴顶点 ,轴顶点 焦点 焦距 离心率 ，其中 通径 过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为 知识点四 直线与椭圆的位置关系 1.直线与椭圆位置关系的判断 (1)代数法：把椭圆方程与直线方程联立消去y，整理得到关于x的方程Ax2＋Bx＋C＝0.记该一元二次方程根的判别式为Δ，①若Δ＞0，则直线与椭圆相交；②若Δ＝0，则直线与椭圆相切；③若Δ＜0，则直线与椭圆相离． (2)几何法：在同一直角坐标系中画出椭圆和直线，利用图象和性质可判断直线与椭圆的位置关系． 2．直线与椭圆的相交长问题： （1）弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点则弦长公式为或． （2）弦中点问题，适用“点差法”. （3）椭圆中点弦的斜率公式 若M(x0，y0)是椭圆的弦AB(AB不平行y轴)的中点，则有kAB·kOM＝， 即kAB＝. 考点01 椭圆的定义及其应用 【典例1】【多选题】（2023秋·高二课时练习）平面内一动点到两定点距离之和为常数，则点的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．无轨迹 【典例2】（2023秋·高二课时练习）已知椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，且经过点P，同时，则椭圆的标准方程为（    ） A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 【典例3】（2023秋·高二课时练习）椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则的大小为 ．的面积为 ． 【总结提升】 1.应用椭圆的定义，可以得到结论： （1）椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1(－c,0)，F2(c,0)构成的△PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(a＋c)． (2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边，a2＝b2＋c2. 2.对焦点三角形的处理方法，通常是运用. 3.椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等． (2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题． 考点02 椭圆的标准方程 【典例4】（2023秋·高二课时练习）F，A分别为椭圆的一个焦点和顶点，若椭圆的长轴长是6，且，则椭圆的标准方程为（　　） A． B． C．1或 D．1或 【典例5】（2023秋·高二课时练习）已知椭圆的两焦点为，点在椭圆上．若的面积最大为12，则椭圆的标准方程为 ． 【典例6】（2023秋·高二课时练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)椭圆的焦点在轴上，且经过点和点； (2)经过点和点. 【规律方法】 1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤是： (1)作判断：根据条件判断焦点的位置． (2)设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为 ． (3)找关系：根据已知条件，建立关于的方程组． (4)求解，得方程． 2．(1)方程与有相同的离心率． (2)与椭圆共焦点的椭圆系方程为，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便． 考点03 椭圆的几何性质 【典例7】（2023秋·高二课时练习）椭圆与椭圆的（　　） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【典例8】（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的离心率为，下顶点为，点为上的任意一点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【典例9】（2023春·江西抚州·高二江西省乐安县第二中学校考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．椭圆的短轴长可能为2 C．椭圆的离心率的取值范围为 D．若，则椭圆的长半轴长为 【规律方法】 1.关于椭圆几何性质的考查，主要有四类问题，一是考查椭圆中的基本量a，b，c；二是考查椭圆的离心率；三是考查离心率发最值或范围；四是其它综合应用. 2.学习中，要注意椭圆几何性质的挖掘： (1)椭圆中有两条对称轴，“六点”(两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)以及相互间的距离