1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.4.2用空间向量研究距离和夹角问题 学习目标 学习目标 1.能利用投影向量得到点到直线、点到平面的距离公式. 2.结合一些具体的距离问题，归纳用空间向量解决立体几何问题的一般步骤. 我们知道，立体几何中的距离问题包括点到直线、点到平面、两条平行直线以及两个平行平面的距离问题等如何用空间向量解决这些距离问题呢？下面我们先研究用向量方法求直线外一点P到直线l的距离． 与用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”类似，我们可以得出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”： （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题； （3）把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论． 1.已知正方形的边长为1,⊥平面,且分别为的中点. (1)求点到平面的距离. (2)求直线到平面的距离. 课堂检测 课堂检测 一、回顾本节课你有什么收获？ 距离问题： 点P与平面α的距离为d , 则 例7 在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形) 中， 分别为的中点，求直线夹角的余弦值． 分析： 求异面直线的夹角的余弦值→ 求方向向量的夹角的余弦值→ 建系或者找适当的基底表示向量→ 求出向量夹角的余弦值 A B C D M N 例7 在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形) 中， 分别为的中点，求直线夹角的余弦值． A B C D M N 1.直线与直线所成角 直线与直线所成角的范围： 方法： （1）化为向量问题：设方向向量分别 （2）进行向量运算：计算， （3）回到图形问题：设直线所成的角为，则: 2.直线与平面所成角 直线与平面所成角的范围： 方法： （1）化为向量问题：设直线 （2）进行向量运算：计算， （3）回到图形问题：直线所成的角为，则: A B C 例8 在直三棱柱的中点 （1）求直线与平面所成角的正弦值. 解： (1)以为原点， 所在的直线为 ，建立如图所示的空间直角坐标系. A B C C1 A1 B1 P Q R x y z 则 所以 , 直线的一个方向向量为 设平面的一个法向量为，则 ，所以， 所以，取，则，则 . 则直线与平面所成角的正弦值为. A B C C1 A1 B1 P Q R x y z 3.平面与平面所成角 定义：平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于的二面角称为平面与平面的夹角. 范围： 求法：类似于之前的三步曲 (1)设平面与平面的法向量分别为 (2)计算 (3)平面与平面夹角的余弦值为 例8 在直三棱柱的中点 （2）求平面与平面夹角的余弦值. A B C C1 A1 B1 P Q R 课堂小结 1.直线与直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面的夹角. 2.利用空间向量解决立体几何问题的 “三步曲”： (1)用空间向量表示立体几何中点、直线、平面等元素； (2)进行空间向量的运算，研究点、直线、平面之间的关系； (3)把运算结果“翻译”成相应的几何意义. 例9 图为某种礼物降落伞的示意图，其中有根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为.已知礼物的质量为，每根绳子的拉力大小相同.求降落伞在迅速下落的过程中每根绳子拉力的大小（重力加速度取，精确到）. 例10 在四，底面是正方形，侧棱，是. （1）求证：； （2）求证：； （3）求平面的夹角的大小. 解： 以为原点，所在直线分别为轴、轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设. A B C D E F P z x y （1）求证：； A B C D E F P z x y （2）求证：； A B C D E F P z x y （3）求平面的夹角的大小. A B C D E F P z x y 课堂小结 解决立体几何的问题，可用三种方法：综合法、向量法、坐标法. 综合法以逻辑推理作为工具解决问题； 向量法利用向量的概念及其运算解决问题，如本节的例7、例9； 坐标法利用数及其运算来解决问题，坐标法经常与向量法结合起来使用，如本节的例6、例8、例10． 对于具体的问题，应根据它的条件和所求选择合适的方法． d=| | |cos |= . (2)设直线l,m的方向向量分别为 ， 平面 的法向量分别为 ，则 $$