22.3 实际问题与二次函数（讲+练，八大题型）-【划重点】2023-2024学年九年级数学上册同步讲与练（人教版）

22.3 实际问题与二次函数 学习目标：1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系. 2.会运用二次函数求实际问题. 3.能应用二次函数的性质解决实际问题. 重点：能应用二次函数的性质解决实际问题. 难点：能正确分析实际问题中变量之间的二次函数关系. 知识点一 利用二次函数解实际问题的步骤 1. 二次函数与一元二次方程的关系 （1）阅读并理解题意; （2）找出问题中的变量与常量，并分析它们之间的关系，若有图形，则要注意结合图形进行分析; （3）设适当的未知数，用二次函数表示出变量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式; （4）根据题目中的条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解; （5）检验结果的合理性，必要时进行合理的取舍. 注意：在实际问题中，自变量的取值范围必须要结合实际意义和已知条件的限定。 即学即练 （2023·浙江金华期末）某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠已有的墙（墙长大于），中间用一道墙隔开，正面开两个门，如图所示，已知每个门的宽度为，计划中的建筑材料总长，设两间饲养室的宽度为，总占地面积为． (1)求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围． (2)求饲养室的宽度为多少时，饲养室最大面积多少？ (3)若要使两间饲养室合计占地总而积不低于，求饲养室的宽度的范围． 知识点二 利用二次函数解实际问题的常见类型 （1）几何图形的最大面积 （2）商品利润最大问题 （3）抛物线形实物及运动轨迹问题 即学即练 （2023·广东广州开学考试）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量不低于25套，每套产品的售价不低于90万元，每月利润（万元）．已知这种设备的月产量（套）与每套的售价（万元）之间满足关系式，月产量（套）与生产总成本（万元）存在如图所示的函数关系．    (1)求月产量的范围； (2)如果想要每月利润为1750万元，那么当月产量应为多少套？ (3)求每月利润的范围． 题型一 二次函数之图形问题 例1 （2023春·山东临沂·九年级统考期中）年东京奥运会，中国跳水队赢得个项目中的块金牌，优异成绩的取得离不开艰辛的训练．某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板长为米，跳板距水面的高为米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离米时达到距水面最大高度米，现以为横轴，为纵轴建立直角坐标系．    (1)时，求这条抛物线的解析式． (2)（1）的条件下，求运动员落水点与点的距离． (3)图中米，米，若跳水运动员在区域内（不含点）入水时才能达到训练要求，求的取值范围． 举一反三1 （2023秋·安徽六安·九年级统考期末）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）． (1)若矩形养殖场的总面积为36，求此时x的值； (2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 举一反三2 （2023秋·河北唐山·九年级统考期末）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点，在x轴上，MN与矩形的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段，，，MN长度之和．请解决以下问题： （ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点，在抛物线AED上．设点的横坐标为，求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值； （ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形面积的最大值，及取最大值时点的横坐标的取值范围（在右侧）． 题型二 二次函数之图形运动问题 例2 （2023春·黑龙江齐齐哈尔·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，，，垂足为点，动点从点出发沿方向以的速度匀速运动到点，同时动点从点出发沿射线方向以的速度匀速运动．当点停止运动时，点也随之停止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象能大致反映与之间函数关系的是（    ） A． B． C．D． 举一反三1 （2023·辽宁抚顺·统考一模）如图，在等边三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠F＝30°，DE＝4，点B，C，D，E在一条直线上，点C，D重合，△ABC沿射线DE方向运动，当点B与点E重