14.2 三角形全等的判定-全等三角形的常见模型 课件 2023-2024学年沪科版数学八年级上册

沪科版八年级上册数学 全等三角形的常见模型 全等三角形“一线三等角 ”模型 （1）认识： 全等三角形“一线三等角 ”模型 “一线三等角 ”模型，顾名思义三个相等角的顶点在一条直线上，这三个等角 可以是直角，也可以是锐角或钝角。 ①接下来我们先通过一些图形认识“一线三等角 ”模型，如图； A P C D B A P B C D A P B C D 同侧 A B P D C A B P C D A B P C D 异侧 全等三角形“一线三等角 ”模型 A P C D B A P B C D A P B C D 同侧 A B P D C A B P C D A B P C D 异侧 “同侧”:指的是三个角都在这条直线的同一侧 “异侧”:指的是三个角分别在这条直线的两侧。 全等三角形“一线三等角 ”模型 分析： 如图所示；这里的A、P、B三点共线，∠CAP=∠CPD=∠PBD,且CP=DP,一般还会通过 “ 等量代换”证出另一组角相等，进而证出△ACP≌△BPD. 通过模型图我们不难理解“一线三等角 ”的定义， A P C D B 全等三角形“一线三等角 ”模型 （2）解决此类问题的常用技巧： ①题目中若有“一线三等角 ”的条件，再结合边相等，必然证全等。 ②“一线三等角 ”的背景图经常是正方形、等边三角形、等腰三角形等等。 ③题目中若没有“一线三等角 ”，通常也会根据需要构造，再证全等。 ④“等量代换”求证另一组角相等，是解题的关键。 例.如图，等边三角形ABC中，ED=DF，∠EDF=60°，求证：BC=BE+CF． 全等三角形“一线三等角 ”模型 A B C E F D 分析： 可得△EDB ≌△DFC（AAS） 易得∠BED=∠FDC 等边三角形的性质和外角的性质 全等三角形的性质，等量代换可得结论 60° 例.如图，等边三角形ABC中，ED=DF，∠EDF=60°，求证：BC=BE+CF． 全等三角形“一线三等角 ”模型 证明： ∵△ABC为等边三角形， ∴∠B=∠C=60°， ∵∠EDC=∠B+∠BED=60°+∠BED， ∠EDC=∠EDF+∠FDC=60°+∠FDC， ∴∠BED=∠FDC， 在△BED与△FDC中， ∴△EDB≌△DFC（AAS）， ∴DB=FC，BE=CD， ∴BC=BD+CD=FC+BE． A B C E F D 60° 60° 全等三角形“一线三等角 ”模型 例.直线CD经过∠BCA的顶点C，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点,且∠BEC=∠CFA=∠α． （1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题： ①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，则EF____|BE-AF|（填“＞”， “＜”或“=”号）； A B C D E F 图1 分析： ∠CBE=∠ACD ∠CBE+∠BCE=90° ∠BCE+∠ACD=90° 由∠BCA=90°，∠α=90°可得 已知CA=CB，∠BEC=∠CFA α α △BEC≌△CFA BE=CF，EC=AF EF=|CF-CE|=|BE-AF| α α A B C D E F 图1 （1）①∵∠BCA=90°，∠α=90°， 解： ∴∠CBE+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACD=90°， ∴∠CBE=∠ACD， 在△BEC与△CFA中， ∴△BEC≌△CFA（AAS）， ∵EF=|CF-CE|， ∴EF=|BE-AF|； 例.直线CD经过∠BCA的顶点C，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点,且∠BEC=∠CFA=∠α． （1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题： ①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，则EF____|BE-AF|（填“＞”， “＜”或“=”号）； ∴BE=CF，EC=FA， A C B E F D 图2 例.直线CD经过∠BCA的顶点C，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点,且∠BEC=∠CFA=∠α． （1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题： ②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，若使①中的结论仍然成立，则∠α与∠BCA应满足怎样的关系？ 分析： 由三角形内角和等于180°可知 即∠CBE=∠FCA 只有满足△BEC≌△CFA，才有①中的结论, ∠α+∠BCE+∠CBE=180°， 即∠α+∠BCE+∠FCA=180° 即可得到∠α+∠BCA=180° α α ②∠α与∠BCA应满足的关系是∠α+∠BCA=180°，理由为： 解： ∵∠α+∠BCA=180°， ∴∠α+∠BCE+∠FCA=180°， ∵∠α+∠BCE+∠