14.2三角形全等的判定-构造全等三角形 课件 2023--2024学年沪科版数学八年级上册

沪科版八年级上册数学 构造全等三角形 一、利用角平分线构造全等三角形 ①角平分线可以得到两个相等的角。 如右图，若射线OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC. ②角平分线上的点到角两边的距离相等。 如右图，若射线OC是∠AOB的平分线，PE⊥OA，PF⊥OB，则PE=PF. 1、角平分线的定义 E F A C B O P 证明：在Rt△OEP和Rt△OFP中 ∴Rt△OEP≌Rt△OFP（AAS） ∴PE=PF 如图，OC平分∠AOB，P为OC上一点，请利用下图，过点P作一对全等三角形。 一、利用角平分线构造全等三角形 2、利用角平分线构造全等三角形的方法： A O P C B ①作双垂直，造全等. 条件：OC是角平分线 ②截等线段，造全等. 条件：OC是角平分线，OE=3cm 一、利用角平分线构造全等三角形 E F A C B O P E F A C B O P 3cm 方法：作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F 结论：△EOP≌△FOP（AAS） 方法：在OB上截取OF=OE=3cm 结论：△EOP≌△FOP（SAS） 3cm ③作垂分线，构全等. 条件：OC是角平分线，EP⊥OC ④作双平行，构全等. 条件：OC是角平分线，EP//OB 一、利用角平分线构造全等三角形 常用技巧： E F A C B O P F E A C B O P 方法：延长EP交OB于F 方法：作PF//OA交OB于F 结论：△EOP≌△FOP（ASA） 结论：△EOP≌△FOP（ASA） 角平分线模型 构造全等三角形 在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。 二、利用“倍长中线法”构造全等三角形 1、中线的定义 D A B C 如图，△ABC中，D是BC的中点，则AD是中线 二、利用“倍长中线法”构造全等三角形 2、利用“倍长中线法”构造全等三角形的方法： 如图，△ABC中，AD是BC边中线. ①直接倍长法： D A B C E 此时△ADC≌△EDB（SAS） 延长AD到E，使DE=AD，连接BE 二、利用“倍长中线法”构造全等三角形 ②间接倍长法 E D A B C M N 延长MD到N，使DN=MD，连接CN 作BE⊥AD交AD的延长线于E D A B C F △CFD≌△BED（AAS） △BMD≌△CND（SAS） 三、利用“截长补短法”构造全等三角形 （1）题型：适用于证明线段的和、差、倍、分等类的题目 （2）角含半角模型（存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点） 往往通过补短的方法，证明线段之间的关系 ①90°含45° ②120°含60° 三、利用“截长补短法”构造全等三角形 ① 90°含45° 如图：正方形ABCD中，∠EAF=45°，求证BE+DF=EF 证明方法：延长EB至点F'，使BF'=DF， 45° A B D C E F 45° A B D C E F F' 45° A B D C E F F' 证明△ABF'≌△ADF（SAS） 证明△AEF'≌△AEF（SAS） 进而得证BE+DF=EF 三、利用“截长补短法”构造全等三角形 ② 120°含60° 如图：等边三角形ABC中，∠BDC=120°，BD=CD，∠MDN=60°，求证BM+CN=MN 证明方法：延长NC至点M'，使CM'=BM， D A B C M N 60° A B C M N 60° M' 证明△DCM'≌△DBM（SAS） 证明△NDM'≌△NDM（SAS） 进而得证BM+CN=MN D A B C M N 60° M' D 三、利用“截长补短法”构造全等三角形 （3）截长补短法 如图，△ABC中，∠C=2∠B，∠1=∠2，求证AB=AC+CD 1 2 A B C D 三、利用“截长补短法”构造全等三角形 （3）截长补短法 ①截长法构造全等三角形 在较长线段上截取一段等于其中一条较短线段 再证明剩下的线段与另一条较短线段相等 1 2 A B C D E 1 2 A B C D E ②补短法构造全等三角形 延长短边的方式 使两短边拼合到一起 三、利用“截长补短法”构造全等三角形 （4）总结：解决此类问题的常用技巧 ①角含半角只能补短，不能截长。 ②线段和差及倍半，延长缩短可实验。 △EAD≌△FCD（AAS） 例. 如图，在四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC,∠A+∠C=180°，试说明AD=CD. 分析： ∠EAD=∠C DE=DF 作