第04讲 幂函数（知识解读+题型精讲+随堂检测）-2023-2024学年高一数学《知识解读·题型专练》（人教A版2019必修第一册）

第04讲 幂函数 知识点1 幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 三个条件缺一不可： （1）xα的系数是1；（2）xα的底数x是自变量；（3）xα的指数α为常数 知识点2 五个幂函数的图象与性质 知识点3 幂函数的特征 1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． 2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数． 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． 3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数． 4.幂函数y＝xα （前提：定义域关于原点对称） （1） a为奇数则奇函数；（2）a为偶数则偶函数； （2） a为分数⟹ n为偶数则为偶函数 【题型1 幂函数的概念】 【典例1】下列函数是幂函数的是（　　） A．y＝2x2 B． C．y＝﹣x﹣1 D．y＝2x 【变式1-1】下列函数是幂函数的是（　　） A．y＝﹣ B．y＝x﹣1 C．y＝ D．y＝2x2 【变式1-2】下列函数是幂函数的是（　　） A．y＝2x B．y＝x2﹣1 C．y＝x3 D．y＝2x 【变式1-3】下列函数是幂函数的是（　　） A．y＝x2﹣1 B．y＝0.3x C． D．y＝x0.3 【题型2 函数的定义域】 【典例2】已知幂函数f（x）的图象过点，则f（x）的定义域为（　　） A．R B．（0，+∞） C．[0，+∞） D．（﹣∞，0）∪（0，+∞） 【变式2-1】已知幂函数y＝﹣3αxα，则此函数的定义域为 　 　． 【变式2-2】若f（x）＝（2m﹣1）xm是定义域为R的幂函数，则m＝　　． 【变式2-3】若幂函数（m为整数）的定义域为R，则m＝　 　． 【变式2-4】函数的定义域为______. 【题型3 幂函数的值域】 【典例3】已知幂函数f（x）＝xa的图像过点（8，4），则f（x）＝xa的值域是（　　） A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，0）∪（0，+∞） C．（0，+∞） D．[0，+∞） 【变式3-1】若幂函数f（x）＝mxα的图象过点（2，8），则的值域为（　　） A． B．[2，+∞） C． D．（﹣∞，2] 【变式3-2】已知幂函数f（x）＝xα的图象过点，则函数f（x）的值域为（　　） A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（﹣∞，+∞） 【题型4 幂函数的图像和性质】 【典例4】幂函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】函数的图象是（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】幂函数的图象如图所示，则m的值为（　　） A．﹣1＜m＜3 B．0 C．1 D．2 【变式4-4】图中C1，C2，C3分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则α1，α2，α3依次可以是（　　） A．，3，﹣1 B．﹣1，3， C．，﹣1，3 D．﹣1，，3 【题型5 幂函数的单调性】 【典例5】若幂函数在区间（0，+∞）上单调递增，则m＝（　　） A．﹣1 B．3 C．﹣1或3 D．1或﹣3 【变式5-1】已知幂函数的图象在（0，+∞）上单调递减，则a的取值范围是（　　） A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．（﹣2，1） 【变式5-2】若幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm2﹣4m+1在区间（0，+∞）上单调递减，则m＝（　　） A．3 B．1 C．﹣1或3 D．1或﹣3 【变式5-3】幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）在（0，+∞）上是减函数．则实数m的值为（　　） A．2或﹣1 B．﹣1 C．2 D．﹣2或1 【题型6幂函数的奇偶性】 【典例6】已知幂函数f（x）＝（m2﹣2m+2）x1﹣3m． （1）求函数f（x）的解析式； （2）求函数f（x）的定义域、值域； （3）判断f（x）的奇偶性． 【变式6-1】函数f（x）＝（m2﹣m﹣5）xm+1是幂函数，且为奇函数，则实数m的值是　　． 1．幂函数y＝f（x）的图象过点（4，2），则幂函数y＝f（x）的图象是（　　） A． B． C． D． 2．已知幂函数y＝f（x）的图象过点P（2，4），则f（3）＝（　　） A．2 B．3 C．8 D．9 3．如图是幂函数y＝xα的部分图像，已知α分别取、3、﹣3、这四个值，则与曲线C1、C2、C3、C4相应的α依次为（　　） A．3，，﹣，﹣3 B．﹣3，﹣，，3 C．﹣，3，﹣3， D．3，，﹣3，﹣ 4．已知幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm在（0，+∞）上单调递减，则m＝（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．﹣1或3 5．已知幂函