1.5.2 全称量词命题与存在量词命题的否定（同步课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）

1.5 全称量词与存在量词 1.5.2 全称量词命题与存在 量词命题的否定 第一章 集合与常用逻辑用语 问题导入 一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定. 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假. 例如，“56是7的倍数”的否定为“56不是7的倍数”，“空集是集合的真子集”的否定为“空集不是集合的真子集”.下面，我们学习利用存在量词对全称量词命题进行否定，以及利用全称量词对存在量词命题进行否定. 新知探索 思考1：写出下列命题的否定： (1)所有的矩形都是平行四边形； (2)每一个素数都是奇数； (3)， 上面三个命题都是全称量词命题，即具有“”的形式. “都是”改为“不是” “”改为“” (1)并非所有的矩形都是平行四边形；也就是说，存在一个矩形不是平行四边形； (2)并非每一个素数都是奇数；也就是说，存在一个素数不是奇数； (3)并非所有的也就是说，，. 新知探索 (1)并非所有的矩形都是平行四边形；也就是说，存在一个矩形不是平行四边形； (2)并非每一个素数都是奇数；也就是说，存在一个素数不是奇数； (3)并非所有的也就是说，，. 从命题形式看，这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题. 一般来说，对含有一个量词的全称量词命题进行否定，我们只需把“所有的”“任意一个”等全称量词，变成“并非所有的”“并非任意一个”等短语即可.也就是说，假定全称量词命题为“”，则它的否定为“并非”，也就是“不成立”.通常，用符号“”表示“不成立”. 新知探索 改为 否定结论 对于含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面结论： 全称量词命题：， 它的否定：. 也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题. 例析 例3.写出下列全称量词命题的否定： (1)所有能被3整除的整数都是奇数； (2)每一个四边形的四个顶点在同一个圆上； (3)对任意，的个位数字不等于3. 解：(1)该命题的否定：存在一个能被3整除的整数不是奇数. (2)该命题的否定：存在一个四边形的四个顶点不在同一个圆上. (3)该命题的否定：，的个位数字等于3. 改为 否定结论 新知探索 思考2：写出下列命题的否定： (1)存在一个实数的绝对值是正数； (2)有些平行四边形是菱形； (3)， 它们与原命题在形式上有什么变化？ 这三个命题都是存在量词命题，即具有“”的形式. “存在”改为“不存在” “有些”改为“所有” (1)不存在一个实数，它的绝对值是正数，也就是说，所有实数的绝对值都不是正数； (2)没有一个平行四边形是菱形，也就是说，每一个平行四边形都不是菱形； (3)不存在，”，也就是说，，. 新知探索 从命题形式看，这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题. 一般来说，对含有一个量词的存在量词命题进行否定，我们只需把“存在一个”“至少有一个”“有些”等存在量词，变成“不存在一个”“没有一个”等短语即可.也就是说，假定存在量词命题为“”，则它的否定为“不存在使成立”，也就是“不成立”. 新知探索 改为 否定结论 对于含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面结论： 存在量词命题：， 它的否定：. 也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题. 例析 例4.写出下列存在量词命题的否定： (1)； (2)有的三角形是等边三角形； (3)有一个偶数是素数. 解：(1)该命题的否定：. (2)该命题的否定：所有的三角形都不是等边三角形. (3)该命题的否定：任意一个偶数都不是素数. 改为 否定结论 例析 例5.写出下列命题的否定，并判断真假： (1)任意两个等边三角形都相似； (2). 解：(1)该命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似. 因为任意两个等边三角形的三边成比例，所以任意两个等边三角形都相似.因此这是一个假命题. (2)该命题的否定：. 因为对任意，所以这是一个真命题. 练习 题型一：全称量词命题的否定与真假判断 例1.写出下列命题的否定，并判断其真假. (1)对于所有的实数方程必有实数根； (2)任意一个实数乘以-1都等于它的相反数； (3)矩形的对角线相等. 解：(1)存在实数使得方程没有实数根. 当，即时，方程没有实数根， ∴是真命题. (2)存在一个实数乘以-1不等于它的相反数.假命题. (3)有的矩形的对角线不相等.假命题. 改为 否定结论 练习 变1.写出下列全称量词命题的否定，并判断其真假. (1)一切自然数的平方都是正数； (2)所有实数都是方程的根； (3)对任意实数. 解：(1)有些自然数的平方不是正数.真命题. (2)存在实数不是方程的根.真命题. (3)存在实数，使得.假命题. 改为 否