1.5.1 全称量词与存在量词（同步课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）

1.5 全称量词与存在量词 1.5.1 全称量词与存在量词 第一章 集合与常用逻辑用语 复习导入 我们知道，命题是可以判断真假的陈述句.在数学中，有时会遇到一些含有变量的陈述句，由于不知道变量代表什么数，无法判断真假，因此他们不是命题.但是，如果在原语句的基础上，用一个短语对变量的取值范围进行限定，就可以使它们成为一个命题.我们把这样的短语称为量词.本节将学习全称量词和存在量词，以及如何正确的对含有一个量词的命题进行否定. 新知探索 思考1：下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？ (1)； (2)是整数； 语句命题(1)(2)中含有变量，由于不知道变量代表什么数，无法判断它们的真假，所以它们不是命题. 无法判断真假，不是命题 新知探索 思考1：下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？ (1)；(2)是整数； (3)对所有的； (4)对任意一个是整数. 语句(3)在(1)的基础上，用短语“所有的”对变量进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“任意一个”对变量进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题. 可以判断真假，是命题 新知探索 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并且用符号“”表示.含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.例如，命题“对任意的是奇数”“所有的正方形都是矩形”都是全称量词命题. 常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等. 一般形式：通常，将含有变量的语句用表示，变量的取值范围用表示.那么，全称量词命题“对中任意一个，成立”可用符号简记为 结构特点：集合中的任意一个元素，都满足条件. 例析 例1.判断下列全称量词命题的真假： (1)所有的素数都是奇数； (2)； (3)对任意一个无理数，也是无理数. 解：(1)2是素数，但2不是奇数.所以，全称量词命题“所有的素数都是奇数”是假命题. (2)，总有，因而.所以，全称量词命题“”是真命题. (3)是无理数，但是有理数.所以，全称量词命题“对任意一个无理数，也是无理数”是假命题. 提示：如果一个大于1 的整数，除1和自身外无其他正因数，则称这个正整数为素数. 新知探索 要判定全称量词命题是真命题，需要对集合中每个元素，证明成立；如果在集合中找到一个元素，使不成立，那么这个全称量词命题就是假命题. 这个方法就是举反例. 新知探索 思考2：下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？ (1)； (2)能被2和3整除； (3)存在一个，使； (4)至少有一个能被2和3整除. 容易判断，(1)(2)不是命题.语句(3)在(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“至少有一个”对变量进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的陈述句，因此语句(3)(4)是命题. 不是命题 是命题 新知探索 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并且用符号“”表示.含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.例如，命题“有的平行四边形是菱形”“有一个素数不是奇数”都是存在量词命题. 常见的全称量词还有“有些”“有一个”“有的”等. 一般形式：存在量词命题“存在中任意一个，成立”可用符号简记为 结构特点：集合中至少存在一个元素，满足条件. 例析 例2.判断下列存在量词命题的真假： (1)有一个实数，使； (2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线； (3)有些平行四边形是菱形. 解：(1)由于，因此一元二次方程无实根.所以，存在量词命题“有一个实数，使”是假命题. (2)由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线.所以，存在量词命题“平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线”是假命题. (3)由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题. 练习 题型一：全称量词命题与存在量词命题的判断 例1.判断下列语句是全称量词命题还是存在量词命题： (1)所有不等式的解集，都满足 (2)使 (3)存在是自然数； (4)自然数的平方是正数； (5)所有三角形的内角和都是180°吗？ 解：(1)全称量词命题；(2)存在量词命题;(3)存在量词命题;(4)全称量词命题； (5)是疑问句，不是命题. 练习 解：(1)全称量词命题，真命题. (2)全称量词命题，恰有一个解；假命题. (3)存在量词命题，；真命题. (4)全称量词命题，是有理数；真命题. 变1.判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并用量词符号“”“”表示. (1)所有实