专题10 解题技巧专题：一元二次方程与其他知识的综合（题型专攻）-2023-2024学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（北师大版）

专题10 一元二次方程与其他知识的综合 题型导航 一元二次方程与其他知识的综合 题型1一元二次方程中的古代问题 题型2一元二次方程中的新定义问题 题型3一元二次方程与坐标、函数的综合 题型4一元二次方程与几何图形的综合 题型变式 【题型1】一元二次方程中的古代问题 例题．（2023春·湖南长沙·八年级湖南师大附中博才实验中学校考期末）我国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步．如果设宽为x步，则可列出方程（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】 1．（2022·江苏常州·统考中考真题）第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME-14的举办年份． (1)八进制数3746换算成十进制数是_______； (2)小华设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，求的值． 【题型2】一元二次方程中的新定义问题 例题．（2023秋·辽宁辽阳·九年级统考期末）对于实数a，b定义运算“*”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【变式2-1】 1．（2022秋·江西景德镇·九年级统考期中）对于实数、，定义运算“※”：，如果，求的值． 【题型3】一元二次方程与坐标、函数的综合 例题．（2023·山东日照·日照市新营中学校考三模）对于函数，规定，例如若则有，已知函数，则方程的解的情况是（    ） A．没有实数根 B．有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 【变式3-1】 1．（2023春·湖南长沙·八年级校联考期末）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，将点称为“幸福点”，经过点的函数，称为“幸福函数”． (1)若点是“幸福点”，关于x的函数是“幸福函数”，则__________，__________，__________． (2)若关于x的函数和都是“幸福函数”，且两个函数图象有且只有一个交点，求k的值． (3)若直线与x轴、y轴分别交于点A，B，M是y轴上一点，若将沿直线AM折叠，点B恰好落在x轴上的点C处．试问经过C，M两点的一次函数是否可以为“幸福函数”？若可以，请写出所有函数解析式；若不可以，请说明理由． 【题型4】一元二次方程与几何图形的综合问题 例题．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期末）如图，某景区准备在一块边长为20米的大正方形花园中间修建一个正方形的休闲场所，要求修建四条等宽的矩形小道连接两个正方形的四边如图所示，若小道的长是宽的3倍，且花草种植区域（阴影部分）的面积为192平方米．设小道宽度为x米，根据题意，下列方程正确的是（　　）        A． B． C． D． 【变式4-1】 1．（2022秋·黑龙江绥化·九年级校考期末）如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽米，则可列方程为 ．    专项训练 一．选择题 1．（2022春·八年级单元测试）若是一次函数，则的值等于（） A． B． C．或 D． 2．（2023春·湖南长沙·八年级湖南师大附中博才实验中学校考期末）我国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步．如果设宽为x步，则可列出方程（    ） A． B． C． D． 3．（2023·山东日照·日照市新营中学校考三模）对于函数，规定，例如若则有，已知函数，则方程的解的情况是（    ） A．没有实数根 B．有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 4．（2023秋·辽宁辽阳·九年级统考期末）三角形两边的长分别是7和11，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的周长是（   ） A．23 B．23或33 C．24 D．24或30 5．（2023·河南周口·校考三模）定义新运算“*