第4章 三角形 期末单元专项复习2022—2023学年北师大版数学七年级下册

第四章三角形 三角形三边关系 三角形 三角形内角和定理 角平分线 三条重要线段 中线 高线 全等图形的概念 全等三角形的性质 SSS 三角形 SAS 全等三角形 全等三角形的判定 ASA AAS HL(适用于Rt△) 全等三角形的应用·利用全等三角形测距离 作三角形 一、三角形概念 1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，称为三角形，可以用符号“△”表示△ABC。组成三角 形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称 三角形的角。 2、顶点是A、B、C的三角形，记作“△ABC”,读作三角形ABC”。 3、组成三角形的三条线段叫做三角形的边，即边AB、BC、AC,有时也用a,b,c来表示，顶点A所对的边BC 用a表示，边AC、AB分别用b,c来表示； 4、∠A、∠B、∠C为AABC的三个内角。 二、三角形中三边的关系 1、三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 用字母可表示为a+b>c,a+c>b,b+c心a:a-b<c,a-cb,b-ca。 2、判断三条线段ab,c能否组成三角形： (1)当a+b>c,a+c>b.b+c>a同时成立时，能组成三角形： (2)判断三条线段是否可以组成三角形，只需说明两条较短线段之和大于最长线段时，即可以组成三角形。 3、确定第三边（未知边）的取值范围时，它的取值范围为大于两边的差而小于两边的和，即a-b<c<a+b 4、作用： ①判断三条已知线段能否组成三角形： ②当已知两边时，可确定第三边的范围： ③证明线段不等关系。 三、三角形中三角的关系 1、三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°。 2、三角形按内角的大小可分为三类： (1)锐角三角形，即三角形的三个内角都是锐角的三角形： (2)直角三角形，即有一个内角是直角的三角形，我们通常用“Rt△”表示“直角三角形”其中直角∠C所对的边AB 称为直角三角表的斜边，夹直角的两边称为直角三角形的直角边。 注：直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。 (3)钝角三角形，即有一个内角是钝角的三角形。 补充：我们可以把三角形按照三边情况进行分类 三条边各不相等的三角形叫作不等边三角形： 有两条边相等的三角形叫作等腰三角形： 三条边都相等的三角形叫作等边三角形， 3、判定一个三角形的形状主要看三角形中最大角的度数。 4、直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半。 5、任意一个三角形都具各六个元素，即三条边和三个内角。都具有三边关系和三内角之和为180的性质。 6、三角形内角和定理包含一个等式，它是我们列出有关角的方程的重要等量关系。 方法总结 在角的求值问题中，常常利用内角、外角之间的关系进行转化，然后通过三角形内角和定理列方程求解 例1已知等腰三角形的两边长分别为10和6，则三角形的周长是一 解析：由于没有指明等腰三角形的腰和底， 所以要分两种情况讨论： 第一种10为腰，则6为底，此时周长为26： 第二种10为底，则6为腰，此时周长为22 例2.已知等腰三角形的两边长分别为10和4，则三角形的周长是 【方法归纳】等腰三角形没有指明腰和底时要分类讨论，但也别忘了用三边关系检验能否组成三角形这一重要解题 环节 例3在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3,试判断△ABC的形状，并说明理由. 解析：引用辅助量x°，用x表示出△ABC的三个内角，然后在△ABC中，运用三角形的内角和构造方程， 解方程后，求出△ABC中各内角的度数，从而判断△ABC的形状 解：△ABC是直角三角形.理由如下： 因为∠A:∠B:∠C=1:2:3, 所以可设∠A,∠B,∠C的度数分别为x°，2x°， 3x 在△ABC中，因为∠A+∠B+∠C=180°， 所以x°+2x°+3x°=180°，解得x°=30°. 所以∠A=30°，∠B=60°，∠C=90° 所以△ABC是直角三角形 例4若a,b,c是△ABC的三边长，化简a-b-c+b-c一a+c十a-bl, 解：根据三角形的三边关系，两边之和 大于第三边，得 a-b-c<0,b-c-a<0,c+a-b>0 .la-b-c+b-c-a+c+a-bl =b+c-a+c+a-b+c+a-b =3c+a-b 解析：根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负. 四、三角形的三条重要线段 1、三角形的三条重要线段是指三角形的角平分线、中线和高线。 2、三角形的角平分线： (1)三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 (2)任意三角形都有三条角平分线，并且它们相交于三角形内一点，这个交点就是三角形的内心。 3、三角形的中线： (1)在三角形中，连接一个顶点与