1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系(3)课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章空间向量与立体几何 1.4空间向量的应用（1) 一一用空间向量研究直线、平面的位置关 系 第三课时 复习导入： 用向量的坐标刻画直线、平面的平行关系 (①设直线1和l,的方向向量分别是u1=(x,y,2),42=(x2,y2,2 则1∥，Uu∥u,US1iR,使得4=1u U(x,y,z)=1(x2,2,2)Ux=1x2,y=1y2,1=1z2 (2)设不在平面a内的直线的方向向量为u=(a1,b,C), 平面a的法向量为n=(a2,b2,c2),则 1//a Uu n U uxn =OU aa2+bb2+cc2=0 (3)设平面a,b的法向量分别为1=(x,,乙，42=(x2,2,22 则 a∥bU∥，U$liR,使得n=ln. U(x,y,31)=1(x2,2,2)Ux1=1x2,=1y2,31=1z2 学习新课： 思考： 类似空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、 直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、 平面的法向量之间有什么关系？ 一般地，直线与直线垂」 直，就是两条直线地方 向向量垂直； 直线与平面垂直，就是 直线的方向向量与平面 的法向量平行 平面与平面垂直，就是 两平面的法向量垂直 1.直线与直线垂直： 如图，设1，l,的方向向量分别为，， 1u2 则，用向量刻画线线垂直： 1^lU^,U4=0 思考：用向量的坐标如何刻画 线线垂直的关系？ 设，12的方向向量4，=(x,y,乙)，2=(x2,y2,22】 4^42Uu^u2U2=00xx+yy+z2,=0 2.直线与平面垂直： 如图，设的方向向量分别为u,平面a的法向量为， 则，用向量刻画线面垂直： aU∥九U$11R,使得i=1方” 思考： 用向量的坐标如何刻画 线面垂直的关系？ 设的方向向量u=(x,y,z1),平面a的法向量n=(x2,y2,z2) l∥aUu∥nU$liR,使得u=ln f=1x2 U 1=1y2 k1=1z2 3.平面与平面垂直： 如图，设平面a,b的法向量分别为n,n2 则，用向量刻画面面垂直： a^bU元^2U元72=0 思考：用向量的坐标如何刻画 面面垂直的关系？ 设平面a,b的法向量分别为n=(x,,z,2=(x2,y2,z2) a b Un Ui=0U+y2+222=0 例题分析： 例4.如图，在平行六面体ABCD-AB,CD中， AB=AD=AA=1, DAAB=DAAD=DBAD=60°， 求证：直线ACA平面BDDB. 分析： 根据条件，可以汉汉}为基底。 并用基底表示向量S和平面BDD,B, 再通过向量的运算证明S是平面BDD,B,的法向量即可. 证明：设8=a,汉=方，凶=， 则，日，b,为空间一个基底，且 s=a+i.t,讽=b.a,bs=e Q AB=AD=AA=1, DAAB=DAAD=DBAD=60°， 1=i-2=1,66=56=i-日 2 在平面BDD,B,上，取B汉BR为基向量， 则，对于平面BDD,B,上任意一点P,存在唯一的有序实数对 (l,m,使得BR=1B汉+mb, \aS8=14讽m4S8 -=1a+6.2)6.a+m后+6.)=0 \AS是平面BDD,B,的法向量，I直线ACA平面BDDB· 如图，在平行六面体ABCD-AB,CD中， AB=AD=AA=1, DAAB=DAAD=DBAD=60°， 求证：直线A,CA平面BDDB· 还有没有其他方法？ 可以先求平面BDD,B的法向量，再证A,C与平面的 法向量平行 证明：设级=d,风=，议=， 则，，方，为空间一个基底， 1C=五+6.的=6.i,8-6 h. 设平面BDD,B,的法向量为 万=点+b+无， 、a+方+6.=0 lxa+yb+28)0 又=i2==,i6=6 =a8 1 2 取x=1,则y=1,z=-1, \i=a+6.&, \S=n,IC∥n,I直线AC^平面BDD,B.