暑假衔接：空间向量的线性运算 讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

----------------------------------------------------------- ---------------------------------------------- 高二衔接课空间向量的线性运算教学案 一、主讲知识 【知识点讲解1】 空间向量的有关概念 1．空间向量 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：空间向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：，其模记为|a|或||. 2．几类常见的空间向量 名称 方向 模 记法 零向量 任意 0 0 单位向量 任意 1 相反向量 相反 相等 a的相反向量：－a 的相反向量： 相等向量 相同 相等 a＝b 【讲透例题1】 例1、给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b； ②若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|； ③在正方体ABCD­A1B1C1D1中，＝； ④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p. 其中正确命题的序号是________． 【相似题练习1】 1、向量互为相反向量，已知，则下列结论正确的是（ ） A． B．为实数0 C． 与方向相同 D． 1、(多选)下列命题中，真命题是（ ） A．向量与的长度相等 B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 2、(多选)下列命题中为假命题的是（ ） A．任意两个空间向量的模能比较大小 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 3、给出下列命题： ①若，则或＝－；②若向量是向量的相反向量，则； ③在正方体ABCD­A1B1C1D1中，；④若空间向量满足，则．其中正确命题的序号是________． 【知识点讲解2】空间向量的线性运算 (1)向量的加法、减法 空间向量的运算 加法 ＝＋＝a＋b 减法 ＝－＝a－b 加法运算律 ①交换律：a＋b＝b＋a ②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) (2)空间向量的数乘运算 ①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 当λ>0时，λa与向量a方向相同； 当λ<0时，λa与向量a方向相反； 当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍． 【讲透例题2】 例1、如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A． B． C． D． 【相似题练习2】 1、如图，在三棱锥中，点，，分别是，，的中点，设，，，则（ ） A． B． C． D． 2、如图所示，在空间四边形中，，点在上，且，为中点，则（ ） A． B． C． D． 3、如图，设，若，则=（ ） A． B． C． D． 【知识点讲解3】共线向量 (1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． (2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a. (3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb. (4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa. 【讲透例题3】 例1、e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，实数k＝________. 【相似题练习3】 1、 设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则k＝________. 2、若空间中任意四点O，A，B，P满足，其中m＋n＝1，则（ ） A．P∈AB B．P∉AB C．点P可能在直线AB上 D．以上都不对 3、若是平面α内的两个向量，则（ ） A．α内任一向量(λ，μ∈R) B．若存在λ，μ∈R使＝，则λ＝μ＝0 C．若不共线，则空间任一向量 (λ，μ∈R) D．若不共线，则α内任一向量 (λ，μ∈R) 4、设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则k＝________. 【知识点讲解4】共面向量 (1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量． (2)共面向量定