高一衔接12函数的单调性 教学案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

--------------------------------------------------------- ---------------------------------------------- 高一衔接12函数的单调性及最值教学案 一、主讲知识 【知识点梳理1】函数的单调性 1．函数单调性的定义 一般地，设函数f（x）的定义域为I： ①如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有___________，那么就说函数f（x）在区间D上是增函数； ②如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有___________，那么就说函数f（x）在区间D上是减函数． 2．函数的单调区间 如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f（x）在这一区间具有（严格的）___________，区间D叫做y=f（x）的___________． 3．函数单调区间的找法：已学过的基本函数用图想法；没学过的函数用定义法。 4．定义法证明函数单调性的步骤 (1)取值.设是定义域内一个区间上的任意两个量，且； (2)变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； (3)定号.判断差的正负或商与1的大小关系； (4)得出结论. 【讲透例题1】函数定义域求法 例1、观察下列各个函数的图象，并写出各自的单调区间：y x 1 -1 1 -1 y x 1 -1 1 -1 y x 1 -1 1 -1 例2、证明：函数在区间（0，＋∞）上是增函数． 【相似题练习1】 1、用单调性定义证明：函数在（﹣∞，1）上为增函数． 2、用定义法证明函数f（x）在（，+∞）上是增函数； 【小结】定义法证明单调性的变形步骤中：一定要把整个式子变成几个因式相乘除的形式。 【知识点梳理2】函数单调性的应用 常见函数的单调性 函数类型 单调性 一次函数 在上单调递增 在上单调递减 反比例函数 单调减区间是和 单调增区间是和 二次函数 单调减区间是，单调增区间是 单调减区间是，单调增区间是 【讲透例题2】函数单调性的应用 例1、若函数在[1，＋∞）上是增函数，求实数a的取值范围． 例2、已知函数是定义域为的单调增函数． （1）比较与的大小； （2）若，求实数的取值范围． 【相似题练习2】 1、(1)若函数在上是增函数，则实数的取值范围为 . (2)若函数的单调递增区间为，则实数的值为 . 2．若函数f（x）是R上的减函数，则下列各式成立的是（　　） A．f（a）＞f（2a） B．f（a2）＜f（a） C．f（a2+2）＜f（2a） D．f（a2+1）＞f（a） 3．已知函数f（x）的定义域为R，且对任意的x1，x2且x1≠x2都有[f(x1)﹣f(x2)](x1﹣x2)＞0成立，则满足＜的x 取值范围是（　　） A．（，） B．（，） C．（，） D． 4．函数和在上都是减函数，则 在上（ ） A．是增函数 B．是减函数 C．既不是增函数也不是减函数 D．单调性不能确 【小结】函数单调性判断的等价变形： 是增函数：对任意，有，或，； 是减函数：对任意，有，或，． 【知识点梳理3】函数最大值与最小值 1．最大值 一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的，都有___________；（2）存在，使得___________． 那么，我们称M是函数的最大值．函数的最大值对应图象最高点的纵坐标． 2．最小值 一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数m满足： （1）对于任意的，都有___________；（2）存在，使得___________． 那么，我们称m是函数的最小值．函数的最小值对应图象最低点的纵坐标． 【讲透例题3】求函数的最大值与最小值 例3、已知函数，若x∈[t，t＋2]，求函数f（x）的最值． 【相似题练习3】 1、对a，b∈R，记max{a，b}，函数f（x）＝max{x+2，x2}（x∈R）的最小值是（　　） A．0 B．1 C． D．4 2、已知函数f（x），x∈[1，+∞）， （1）当a时，求函数f（x）的最小值； （2）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围． 【小结】函数的最值与单调性的关系 如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数，在处有最大值． 如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数，在处