2.5 角平分线的性质　课件　2023—2024学年青岛版数学八年级上册

角平分线的性质 　　在纸上任意画一个角，用剪刀剪下，用折纸的方法，试确定角的平分线． 　　你能发现什么吗？ 新课导入 动动手 　　1．会用尺规作一个已知角的平分线； 　　2．掌握角平分线的性质． 教学目标 　　1．掌握角平分线的性质定理及其逆定理； 　　2．角平分线性质的证明及运用． 　　1．角平分线性质的探究； 　　2．角平分线性质定理及其逆定理的证明及应用． 重点 难点 教学重难点 探究角平分线的性质 (1)实验：画一个∠AOB,用尺规作出∠AOB的平分线OP,过P作 PD ⊥OA,PE ⊥ OB 问题：①比较PD和PE 的大小关系（量一量）。 PD=PE ②再换一个新的位置看看情况会怎样？ 活 动 1 (2)猜想: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. P A O B C E D P A O B C E D 1 2 已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D， PE⊥OB于点E 求证: PD=PE (3)验证猜想 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 已知“一个点在一个角的平分线上”。结论为“这个点到这个角两边得距离相等” 证明：∵OC平分∠ AOB （已知） ∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义） ∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB（已知） ∴ ∠PDO= ∠PEO（垂直的定义） 在△PDO和△PEO中 ∠PDO= ∠PEO（已证） ∠1= ∠2 （已证） OP=OP （公共边） ∴ △PDO ≌ △PEO（AAS） ∴PD=PE（全等三角形的对应边相等） 角平分线上的点到角两边的距离相等。 得到角平分线的性质： 利用此性质怎样书写推理过程? ∵ ∠1= ∠2, PD ⊥ OA， PE ⊥ OB （已知） ∴PD=PE（角平分线的性质） P A O B C E D 1 2 归纳： 反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？ 已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上． 思考 9 证明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知）， 　∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义） 在Rt△QDO和Rt△QEO中 　 QO＝QO（公共边） QD=QE ∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL） 　∴ ∠ QOD＝∠QOE ∴点Q在∠AOB的平分线上 10 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上． 用数学语言表示为： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. ∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE 11 例 已知：如图，△ABC中，∠B的平分线BE与∠C的平分线CF 相交于点P.求证：AP平分∠BAC. 证明：过点P分别作PM⊥BC,PN⊥AC, PQ⊥AB,垂足分别为点M,N,Q. ∵BE是∠B的平分线，点P在BE上，（已知） ∴PQ=PM.（角平分线上的点到角两边的距离相等） 同理，PN=PM. ∴PN=PQ.(等量代换) ∴AP平分∠BAC.（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上） 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20000） 解决问题 S 公路 铁路 D C s 公路 铁路 O 解： 设OD=x m 则由题得 = 解得x=0.025m 即OD=2.5cm 作夹角的角平分线OC，截取OD=2.5cm ,D即为所求。 A C D E B F 已知：如图，△ABC中 ∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上BD=DF， 求证：CF=EB。 应用与提高 分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它们所在的两个 三角形全等,即Rt△CDF ≌ Rt△EDB. 现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需要我们找什么条件 DC=DE (因为角的平分线的性质) 再用HL证明. 试试自己写证明。你一定行！ 证明： ∵　AD平分∠CAB 　　DE⊥AB