第9章 习题课3 圆锥曲线中的证明、存在性问题（课件PPT）-【新高考方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

阶段综合·融会建模　习题课3——圆锥曲线中的证明、存在性问题 [方法技巧] 几何证明问题的解题策略 (1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)． (2)解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．　　 [方法技巧] 存在性问题的解题策略 存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在． (1)当条件和结论不唯一时要分类讨论． (2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件． (3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意．　　 “课时验收评价” 见“课时验收评价” （五十九） (单击进入电子文档) 16 题型一　证明问题 [典例]　(2021·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，右焦点为F(，0)，且离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2＋y2＝b2(x>0)相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝. [解]　(1)由题意知 ⇒a＝， 又∵a2＝b2＋c2，∴b＝1. 故椭圆C的方程为：＋y2＝1. (2)证明：①(必要性)若M，N，F三点共线，即直线MN过点F(，0)， 设直线MN的方程为x＝my＋，圆心O(0,0)到MN的距离d＝＝1⇒m2＝1. 联立 ⇒(m2＋3)y2＋2my－1＝0⇒4y2＋2my－1＝0， |MN|＝·＝·＝，必要性成立． ②(充分性)当|MN|＝时，设直线MN的方程为x＝ty＋m. 此时圆心O(0,0)到MN的距离d＝＝1⇒m2－t2＝1， 联立⇒(t2＋3)y2＋2tmy＋m2－3＝0，Δ＝4t2m2－4(t2＋3)(m2－3)＝12(t2－m2＋3)＝24. 由|MN|＝＝⇒t2＝1，∴m2＝2. ∵MN与曲线x2＋y2＝b2(x>0)相切，∴m>0，m＝，∴直线MN的方程为x＝ty＋，恒过点F(，0)，∴M，N，F三点共线，充分性成立． 由①②可得M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝. [针对训练] 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线－x2＝1的焦点重合，过点P(4,0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆相交于A，B两点． (1)求椭圆C的方程； (2)若点B关于x轴的对称点为点E，证明：直线AE与x轴交于定点． 解：(1)由双曲线－x2＝1得焦点(0，±)，得b＝，由题意可得解得a＝2，c＝1， 故椭圆C的方程为＋＝1. (2)证明：设直线l：y＝k(x－4)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点E(x2，－y2)．由得(4k2＋3)x2－32k2x＋64k2－12＝0，Δ＝(32k2)2－4(4k2＋3)(64k2－12)＞0，解得－＜k＜， 从而x1＋x2＝，x1x2＝， 直线AE的方程为y－y1＝(x－x1)，令y＝0得x＝， 又∵y1＝k(x1－4)，y2＝k(x2－4)， 则x＝＝， ＝＝1， 故直线AE与x轴交于定点(1,0)． 题型二　存在性问题 [典例]　(2022·承德二模)已知M(－2,0)，N(2,0)，动点P满足：直线PM与直线PN的斜率之积为常数－，设动点P的轨迹为曲线C1.抛物线C2：x2＝2py(p>0)与C1在第一象限的交点为A，过点A作直线l交曲线C1于点B，交抛物线C2于点E(点B，E不同于点A)． (1)求曲线C1的方程； (2)是否存在不过原点的直线l，使点E为线段AB的中点？若存在，求出p的最大值；若不存在，请说明理由． [解]　(1)设动点P(x，y)(x≠±2)，则kPM＝，kPN＝.∵kPMkPN＝－，∴·＝－，即＝－，即＋y2＝1(x≠±2)，∴曲线C1的方程为＋y2＝1(x≠±2)． (2)设A(x1，y1)(x1>0，y1>0)，B(x2，y2)，E(x0，y0)，显然直线l存在斜率，设l：y＝kx＋m(k≠0，m≠0)，∵⇒(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，∴x1＋x2＝，x0＝.又⇒x2＝2p(kx＋m)⇒x2－2pkx －2pm＝0，∴x1x0＝－2pm，∴x1＝－2pm⇒x1＝p，因此有k>0，∵⇒x2＋＝4，∴p22＋＝4，∴p2＝， 设2＝2＝t≥2＝4，当且仅当＝2k，即k＝时取等号，则p2＝＝，当t≥4时，2－≥20，即p2≤＝，即pmax＝.此时A，直线l不过点M，N.故存在不过原点的直线l，使点E为线段AB的中点，且p的最大值为. [针对训练] (2022·洛阳二模)已知椭圆