第9章 习题课1 圆锥曲线中的最值、范围问题（课件PPT）-【新高考方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

阶段综合·融会建模　习题课1——圆锥曲线中的最值、范围问题 题型一　最值问题 [典例]　(2021·全国乙卷)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，且F与圆M：x2＋(y＋4)2＝1上点的距离的最小值为4. (1)求p； (2)若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值． [方法技巧]　求解圆锥曲线最值问题的2种方法 几何法 即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解 代数法 即把要求最值的几何量或代数表达式表示为关于某个(些)参数的函数，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解 [针对训练] (2022·全国甲卷)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点D(p,0)，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，|MF|＝3. (1)求C的方程； (2)设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α，β.当α－β取得最大值时，求直线AB的方程． [方法技巧] 圆锥曲线中取值范围问题的常用解法 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系． (3)利用已知或隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．　　 “课时验收评价” 见“课时验收评价” （五十七） (单击进入电子文档) 16 [解]　(1)由题意，得抛物线C：x2＝2py的焦点F，圆M：x2＋(y＋4)2＝1的圆心M(0，－4)，半径是1.由点F与圆M上的点的距离的最小值为4，得＋4－1＝4，解得p＝2. (2)设A，B，P(x0，y0)．由y＝，得y′＝，所以直线PA：y－＝(x－x1)　①，直线PB：y－＝(x－x2)　②，且kAB＝＝，则直线AB：y－＝(x－x1)，即4y＝(x1＋x2)x－x1x2.将点P的坐标分别代入①②，解得x0＝，y0＝，则直线AB：2y＝x0x－2y0.所以|AB|＝＝. 易知点P到直线AB的距离d＝，所以S△PAB＝d|AB|＝|x－4y0|＝(x－4y0)＝(－y－12y0－15).因为y0∈[－5，－3]，所以当y0＝－5时，S△PAB最大，最大值为20. 解：(1)当MD⊥x轴时，有|MF|＝＋p＝3，得p＝2， 所以抛物线C的方程为y2＝4x. (2)根据(1)知F(1,0)，D(2,0)． 当MN⊥x轴时，易得α＝β＝，此时α－β＝0. 当MN的斜率存在时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(x3，y3)，B(x4，y4)， 则直线MN的方程为y－y1＝(x－x1)， 即y－y1＝(x－x1)＝(x－x1)， 即y(y1＋y2)－y1(y1＋y2)＝4(x－x1)， 所以直线MN的方程为y(y1＋y2)－y1y2＝4x. 同理可得，直线AM的方程为y(y3＋y1)－y3y1＝4x，直线BN的方程为y(y4＋y2)－y4y2＝4x，直线AB的方程为y(y4＋y3)－y4y3＝4x. 因为F(1,0)在MN上，所以y1y2＝－4. 因为D(2,0)在AM，BN上，所以y3y1＝－8，y4y2＝－8，所以y3＝－，y4＝－. 所以y3＋y4＝－－＝－＝－＝2(y1＋y2)，y3y4＝＝＝－16， 所以直线AB的方程y(y4＋y3)－y4y3＝4x可化为(y1＋y2)y＋8＝2x， 所以tan α＝，tan β＝， 所以tan(α－β)＝＝＝2×. 当y2＋y1<0时，tan(α－β)<0，所以不符合题意． 当y2＋y1>0时，(y2＋y1)＋≥4， tan(α－β)≤2×＝， 当且仅当y2＋y1＝，即y2＋y1＝2时取等号， 此时α－β取得最大值，直线AB的方程为x－y－4＝0. 题型二　范围问题 [典例]　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线xsin θ＋ycos θ－1＝0相切(θ为常数)． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l与椭圆交于M，N两点，求·的取值范围． [解]　(1)由题意，得解得 故椭圆C的标准方程为＋y2＝1. (2)由(1)得F1(－1,0)，F2(1,0)． ①若直线l的斜率不存在，则直线l⊥x轴，直线l的方程为x＝1，不妨记M，N， ∴＝，＝， 故·＝. ②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－1)， 由消去y得， (1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则x1＋x2＝，x1x2＝.① ＝(x1＋1，y1)，