第7章 第5节 直接证明与间接证明（课件PPT）-【新高考方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

第五节　直接证明与间接证明、数学归纳法 1.了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法；了解综合法和分析法的思考过程和特点. 2.了解反证法的思考过程和特点. 内容 综合法 分析法 定义 利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的_________，最后推导出所要证明的结论成立 从要____________出发，逐步寻求使它成立的_________，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止 1．直接证明——综合法、分析法 推理论证 证明的结论 充分条件 续表 2．间接证明 间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法． (1)反证法的定义：假设原命题_______ (即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了____________的证明方法． (2)用反证法证明的一般步骤： ①反设——假设命题的结论不成立； ②归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止； ③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立． 不成立 原命题成立 (1)分析法是执果索因，实际上是寻找使结论成立的充分条件；综合法是由因导果，就是寻找已知的必要条件． (2)综合法和分析法都是直接证明的方法，反证法是间接证明的方法． (3)用反证法证题时，首先否定结论，否定结论就是找出结论的反面的情况，然后推出矛盾，矛盾可以与已知、公理、定理、事实或者假设等相矛盾． 解析：根据反证法的定义，假设是对原命题结论的否定，故假设三个内角都大于60°. 答案：B　 [方法技巧] 综合法的证题思路 (1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性． (2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理．　　 [方法技巧] 分析法的证题思路 先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证．　　 [方法技巧] 用反证法证题需把握的3个注意点 (1)必须先否定结论，即肯定结论的反面． (2)必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证． (3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，但是推导出的矛盾必须是明显的．　　 “课时验收评价” 见“课时验收评价” （四十二） (单击进入电子文档) 23 思维过程 由因导果(顺推证法) 执果索因(逆推证法) 框图表示 P表示已知条件、已有的数学定义、公理、定理、性质等，Q表示所要证明的结论 →→…→ → →…→ 文字语言 因为……，所以……， 或由……得……， 或“⇒” 要证(欲证)……， 只需证……， 即证…… 答案：A 1．对于任意角θ，化简cos4θ－sin4θ＝ (　 ) A．2sin θ B．2cos θ C．sin 2θ D．cos 2θ 答案：D 2．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系是(　 ) A．P>Q B．P＝Q C．P<Q D．由a的取值确定 3．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”，假设正确的是 (　 ) A．假设三个内角都不大于60° B．假设三个内角都大于60° C．假设三个内角至多有一个大于60° D．假设三个内角至多有两个大于60° 重难点(一)　综合法证明　 [典例]　若a，b，c是不全相等的正数，求证：lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c. [证明]　∵a，b，c∈(0，＋∞)，∴≥ ＞0，≥＞0，≥＞0. 由于a，b，c是不全相等的正数， ∴上述三个不等式中等号不能同时成立， ∴··＞abc＞0成立 上式两边同时取常用对数， 得lg＞lg(abc)， ∴lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c. [针对训练] 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Asin B＋sin Bsin C＋cos 2B＝1. (1)求证：a，b，c成等差数列； (2)若C＝，求证：5a＝3b. 证明：(1)由已知得sin Asin B＋sin Bsin C＝2sin2B， 因为sin B≠0，所以sin A＋sin C＝2sin B， 由正弦定理，有a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列． (2)由C＝，c＝2b－a及余弦定理得(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，即有5ab－3b2＝0， 所以5a＝3b. 重难点(二)　分析法证明　 [典例]　已知△