第3章 第2节 导数与函数的单调性（课件PPT）-【新高考方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

第二节　导数与函数的单调性 1.了解函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次). 1．函数单调性与导数的关系 设函数f(x)在(a，b)内可导，f′(x)是f(x)的导函数，则 f′(x)>0 f(x)在(a，b)内是 函数 f′(x)<0 f(x)在(a，b)内是 函数 f′(x)＝0 f(x)在(a，b)内是常数函数 单调递增 单调递减 2．充分、必要条件与导数及函数单调性 (1)f′(x)>0(或f′(x)<0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件． (2)f′(x)≥0(或f′(x)≤0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件． (3)若f′(x)在区间(a，b)的任意子区间内都不恒等于0，则f′(x)≥0(≤0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的充要条件． (1)讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则． (2)有相同单调性的单调区间不止一个时，用“，”隔开或用“和”连接，不能用“∪”连接． (3)函数f(x)在区间[a，b]内单调递增(或递减)，可得f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在该区间恒成立，而不是f′(x)>0(或f′(x)<0)恒成立，“＝”不能少．必要时还需对“＝”进行检验． 1．函数f(x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是 (　 ) A．先增后减 B．先减后增 C．增函数 D．减函数 解析：∵f′(x)＝－sin x－1＜0， ∴f(x)在(0，π)上是减函数． 答案：D　 3.导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　 ) 解析：由题图可知当x＞0时，f′(x)＞0，当x＜0时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，D选项符合． 答案：D　 4．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间为________． 解析：f′(x)＝[(x－3)ex]′＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex.令f′(x)>0，解得x>2.故所求单调递增区间为(2，＋∞)． 答案：(2，＋∞) 5．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在R上单调递减，则实数a的取值范围是________． 层级一/ 基础点——自练通关(省时间) 基础点　判断不含参函数的单调性或单调区间 [题点全训] 1．已知函数f(x)＝x(ex－e－x)，则f(x) (　 ) A．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减 B．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增 C．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减 D．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增 解析：因为f(x)＝x(ex－e－x)，x∈R， 定义域关于原点对称， 且f(－x)＝－x(e－x－ex)＝x(ex－e－x)＝f(x)， 所以f(x)是偶函数． 当x>0时，f′(x)＝ex－e－x＋x(ex＋e－x)>0， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故选D. 答案：D　 [一“点”就过] 确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f′(x)； (3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间． (1)研究含参函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．　　 [针对训练] 已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1.讨论f(x)的单调性． [方法技巧]　求参数范围的常见类型和解题技巧 常见类型 解题技巧 已知可导函数f(x)在区间D上单调递增(或递减) 转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)对x∈D恒成立问题，要注意“＝”是否取到 已知可导函数f(x)在某一区间上存在单调区间 实际上就是f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成不等式问题 已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数 先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围 已知f(x)在区间D上不单调 f(x)在D上有极值点，且极值点不是D的端点 5．(强化开放思维)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋b，若存在a，b，使得f(x)在区间[0,1]的最小值为－1且最大值为1，则符合条件的一组a，b的值为________． “课时验收评价”见“课时验收评价(十五)” (单击进入电子文档) 33 2．函数f(x)＝2x2－ln x的单调递减区