第2章 第4节 二次函数与幂函数（课件PPT）-【新高考方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

第四节　二次函数与幂函数 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是 ，α为常数． 自变量 (2)5个常见幂函数的性质 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 (2)二次函数的图象与性质 幂函数的图象和性质 2．若一次函数y＝ax＋b的图象经过二、三、四象限，则二次函数y＝ax2＋bx的图象可能是 (　 ) 3．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________． 解析：x∈[1，a]，根据区间的定义可知a>1.∵函数f(x)＝x2－6x＋8＝(x－3)2－1，x∈[1，a]，并且函数f(x)的最小值为f(a)，又函数f(x)在对称轴x＝3左侧单调递减，右侧单调递增，∴1<a≤3. 答案：(1,3] 4．已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，则a，b，c的大小关系是______．(用“<”连接) 解析：由指数函数，幂函数的单调性可知0.30.4<0.30.3，0.40.3>0.30.3，即c<b<a. 答案：c<b<a 2.幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象如图所示，则m的值为(　 ) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m2－2m－3＜0，即－1＜m＜3.又从图象看，函数是偶函数，故m2－2m－3为负偶数，将m＝0,1,2分别代入，可知当m＝1时，m2－2m－3＝－4，满足要求． 答案：C　 3.若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为 (　 ) A．－1<m<0<n<1 B．－1<n<0<m C．－1<m<0<n D．－1<n<0<m<1 解析：幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，且0<α<1时，图象上凸，所以0<m<1；当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，不妨令x＝2，根据图象可得2－1<2n，所以－1<n<0，综上所述，选D. 答案：D　 [一“点”就过] (1)在区间(0,1)内，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴． (2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键． 基础点(二)　求二次函数的解析式　 [题点全训] 1．已知y＝f(x)为二次函数，若y＝f(x)在x＝2处取得最小值－4，且y＝f(x)的图象经过原点，则函数解析式为________． 解析：因为y＝f(x)在x＝2处取得最小值－4，所以可设f(x)＝a(x－2)2－4(a>0)，又图象过原点，所以f(0)＝4a－4＝0，a＝1，所以f(x)＝(x－2)2－4＝x2－4x. 答案：f(x)＝x2－4x 3．已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求函数f(x)的解析式． 解：∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，∴f(x)的对称轴为x＝2.又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，∴f(x)＝0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)． 又∵f(x)的图象经过点(4,3)，∴3a＝3，a＝1. ∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)， 即f(x)＝x2－4x＋3. [一“点”就过] 求二次函数解析式的方法 根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下： 层级二/ 重难点——逐一精研(补欠缺) 重难点(一)　二次函数的图象及应用　 [典例]　(1)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是 (　 ) (2)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A (－3，0)，对称轴为直线x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac； ②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b.其中正确的结论是(　 ) A．②④ B．①④ C．②③ D．①③ [解析]　(1)若0<a<1， 则y＝logax在(0，＋∞)上单调递减， y＝(a－1)x2－x开口向下，其图象的对称轴在y轴左侧，排除C、D. 若a>1，则y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，y＝(a－1)x2－x图象开口向上，且对称轴在y轴右侧，因此B项不正确，只有选项A满足． [方法技巧]　识别二次函数图象应学会“三看” [针对训练] 1.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则 (　 ) A．b<a＋c，c2<ab B．