第2章 第3节 函数的奇偶性与周期性（课件PPT）-【新高考方案】2024高考数学（文科）一轮复习（老教材 新高考）

1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_____________，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于 对称 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有___________，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于 对称 f(－x)＝－f(x) f(－x)＝f(x) 原点 y轴 2．函数的周期性 周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有 ，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期 最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 的正数，那么这个 就叫做f(x)的最小正周期 f(x＋T)＝f(x) 最小 最小正数 (1)①如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. ②如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (3)奇函数的特殊性质 ①若f(x)为奇函数，则f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若f(x)存在最值，则f(x)min＋f(x)max＝0. ②若F(x)＝f(x)＋c，f(x)为奇函数，则F(－x)＋F(x)＝2c.特别地，若F(x)存在最值，则F(x)min＋F(x)max＝2c. (5)对称性的3个常用结论 ①若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． ②若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． ③若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称． 3．已知函数f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)＝2x＋2，则f(1)＝________. 解析：对于A，定义域为R，f(－x)＝－xcos(－x)＝－xcos x＝－f(x)，f(x)是奇函数；对于B，定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，f(x)是非奇非偶函数；对于C，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝lg|－x|＝lg|x|＝f(x)，f(x)是偶函数；对于D，定义域为R，f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，f(x)是奇函数． 答案：C　 [一“点”就过] 函数奇偶性的判定方法 考法2　利用奇偶性求解析式 [例2]　设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)＝ (　 ) A．e－x－1 B．e－x＋1 C．－e－x－1 D．－e－x＋1 [解析]　当x<0时，－x>0， ∵当x≥0时，f(x)＝ex－1， ∴f(－x)＝e－x－1. 又∵f(x)为奇函数， ∴当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1. [答案]　D 考法3　利用奇偶性求函数值 [例3]　已知函数f(x)＝ax3＋bx5＋2.若f(x)在区间[－t，t]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________. [解析]　令g(x)＝ax3＋bx5， 则g(x)为奇函数， 当x∈[－t，t]时，g(x)max＋g(x)min＝0， 又f(x)＝g(x)＋2， ∴M＝g(x)max＋2，m＝g(x)min＋2， ∴M＋m＝g(x)max＋2＋g(x)min＋2＝4. [答案]　4 [方法技巧]　函数奇偶性的应用类型及解题策略 求参数值 利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得出参数的值．对于在x＝0处有定义的奇函数f(x)，可考虑列等式f(0)＝0求解 求函数值 利用函数的奇偶性将待求函数值转化为已知区间上的函数值，进而求解 求解析式 先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出f(x)的解析式，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式 [针对训练] 1．已知函数f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，则f(－2)＝(　 ) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：由题意f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，由函数的奇偶性得f(－x)－g(x)＝x2－x－2，联立得f(x)＝x2－2，所以f(－2)＝2. 答案：C　 函数周期性的判定与应用的解题策略 (1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题． (2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质