第9章 习题课2 圆锥曲线中的定点、定值问题（课件PPT）-【新高考方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

阶段综合·融会建模　习题课2——圆锥曲线中的定点、定值问题 题型一　定点问题 [方法技巧] (1)求解直线或曲线过定点问题的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点． (2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)．　　 [方法技巧] 圆锥曲线中定值问题的常见类型及解题策略 (1)求代数式为定值．依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值． (2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得． (3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．　　 “课时验收评价” 见“课时验收评价” （六十二） (单击进入电子文档) 17 [典例]　(2022·全国乙卷)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0，－2)，B两点． (1)求E的方程； (2)设过点P(1，－2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足＝.证明：直线HN过定点． [解]　(1)∵椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0，－2)， ∴可设椭圆E的方程为＋＝1， 又椭圆E过B， ∴＋＝1，得a2＝3， ∴E的方程为＋＝1. (2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)．由题意知，直线MN与y轴不垂直，设其方程为x－1＝t(y＋2)． 联立得方程组消去x并整理，得(4t2＋3)y2＋(16t2＋8t)y＋16t2＋16t－8＝0， 所以y1＋y2＝－， y1y2＝. 设T(x0，y1)．由A，B，T三点共线，得＝，得x0＝y1＋3. 设H(x′，y′)，由＝， 得＝，所以x′＝3y1＋6－x1，y′＝y1， 所以直线HN的斜率k＝ ＝＝， 所以直线HN的方程为y－y2＝·(x－x2)． 令x＝0，得y＝·(－x2)＋y2 ＝＋y2 ＝ ＝ ＝－2. 所以直线NH过定点(0，－2)． [针对训练] (2023·邯郸开学摸底考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，且过点. (1)求椭圆方程； (2)设直线l：y＝kx＋m(k≠0)交椭圆C于A，B两点，且线段AB的中点M在直线x＝上，求证：线段AB的中垂线恒过定点N. 解：(1)椭圆过点，即＋＝1，又2c＝2，得a2＝b2＋3，所以a2＝4，b2＝1，即椭圆方程为＋y2＝1. (2)证明：由得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－， 设AB的中点M为(x0，y0)，得x0＝－＝， 即1＋4k2＝－8km，所以y0＝kx0＋m＝k－＝－. 所以AB的中垂线方程为y＋＝－，即y＝－，故AB的中垂线恒过点N. 题型二　定值问题 [典例]　已知点A，B分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点，过左焦点F(－2,0)的直线l与椭圆C交于P，Q两点，当直线l与x轴垂直时，|PQ|＝. (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2，求证：为定值． [解]　(1)将x＝－2代入方程＋＝1， 得＋＝1，所以y2＝b2·＝， 解得y＝±，则＝， 又因为a2＝b2＋4，解得a2＝9，b2＝5. 所以椭圆的标准方程为＋＝1. (2)证明：由题可知直线l斜率不为0， 设直线l：x＝my－2，代入＋＝1， 消去x得5(my－2)2＋9y2＝45， 整理得(5m2＋9)y2－20my－25＝0， 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则y1＋y2＝，y1y2＝　①， A(－3,0)，B(3,0)，k1＝，k2＝， 所以＝·＝ ＝　②， 由①得＝－m，所以my1y2＝－(y1＋y2)， 代入②得＝＝＝5， 故为定值． [针对训练] 已知斜率为1的直线交抛物线C：y2＝2px(p＞0)于A，B两点，且弦AB中点的纵坐标为2. (1)求抛物线C的标准方程； (2)记点P(1,2)，过点P作两条直线PM，PN分别交抛物线C于M，N(M，N不同于点P)两点，且∠MPN的平分线与y轴垂直，求证：直线MN的斜率为定值． 解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点(x0，y0)，则有y＝2px1，y＝2px2， 两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝2p(x1－x2)， 所以kAB＝＝＝＝1， 所以p＝2，抛物线方程为y2＝4x. (2)证明：设