第13章 第1节 绝对值不等式（课件PPT）-【新高考方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

第十三章| 选修4－5　不等式选讲 第一节　绝对值不等式 ab≥0 (a－b)(b－c)≥0 2．绝对值不等式的解法 (1)含绝对值不等式|x|<a与|x|>a的解法 (1)利用绝对值不等式的几何意义解决问题能有效避免分类讨论不全面的问题；若用零点分段法求解，要掌握分类讨论的标准，做到不重不漏． (2)绝对值三角不等式|a±b|≤|a|＋|b|，从左到右是一个放大过程，从右到左是缩小过程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变量求最值． [方法技巧]　解绝对值不等式的常用方法 “课时验收评价” 见“课时验收评价” （七十四） (单击进入电子文档) 30 1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件： 1|a＋b|≤|a|＋|b|a，b∈R；2|a－b|≤|a－c|＋|c－b|a，b，c∈R. 2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≥a.) 1．绝对值三角不等式 定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当_________时，等号成立． 定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当_________________时，等号成立． ∅ R 不等式 a>0 a＝0 a<0 |x|<a _____________ ∅ ____ |x|>a {x|x>a或x<－a} _________________ ____ (2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 ①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c； ②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c. {x|x∈R且x≠0} (3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解． ②利用“零点分段法”求解． ③通过构造函数，利用函数的图象求解． 3．常用绝对值不等式的性质 (1)≤|a±b|≤|a|＋|b|； (2)|a＋b＋c|≤|a|＋|b|＋|c|. 考点(一)　绝对值不等式的解法　 [典例]　(1)解不等式：|2x＋1|－2|x－1|>0. (2)解不等式：|x＋3|－|2x－1|<＋1. [解]　(1)原不等式可化为|2x＋1|>2|x－1|， 两边平方得4x2＋4x＋1>4(x2－2x＋1)，解得x>，所以原不等式的解集为. (2)①当x<－3时，原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)<＋1，解得x<10，∴x<－3. ②当－3≤x≤时，原不等式化为(x＋3)－(1－2x)<＋1，解得x<－，∴－3≤x<－. ③当x>时，原不等式化为(x＋3)＋(1－2x)<＋1，解得x>2，∴x>2.综上可知，原不等式的解集为. 基本性质法 对a∈R＋，|x|<a⇔－a<x<a，|x|>a⇔x<－a或x>a 平方法 两边平方去掉绝对值符号 零点分 区间法 含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解 数形结合法 在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解 [针对训练] (2020·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|3x＋1|－2|x－1|. (1)画出y＝f(x)的图象； (2)求不等式f(x)＞f(x＋1)的解集． 解：(1)由题设知f(x)＝ 所以y＝f(x)的图象如图所示． (2)函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度后得到函数y＝f(x＋1)的图象． y＝f(x)的图象与y＝f(x＋1)的图象的交点坐标为.由图象可知当且仅当x＜－时，y＝f(x)的图象在y＝f(x＋1)的图象上方． 故不等式f(x)＞f(x＋1)的解集为. 考点(二)　绝对值不等式的性质　 [典例]　(2021·全国乙卷)已知函数f(x)＝|x－a|＋|x＋3|. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥6的解集． (2)若f(x)>－a，求a的取值范围． [解]　(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋3|. 当x<－3时，不等式f(x)≥6转化为1－x－x－3≥6，解得x≤－4.∴x≤－4. 当－3≤x≤1时，不等式f(x)≥6转化为1－x＋x＋3≥6，即4≥6，无解． 当x>1时，不等式f(x)≥6转化为x－1＋x＋3≥6，解得x≥2.∴x≥2. 综上所述，不等式f(x)≥6的解集为{x|x≥2或x≤－4}． (2)∵f(x)>－a，∴－a<f(x)min. ∵f(x)＝|x－a|＋|x＋3|≥|(x－a)－(x＋3)|＝|a＋3|，∴－a<|a＋3|. 当a≥0时，－a<|a＋3|恒成立