第12章 第2节 参数方程（课件PPT）-【新高考方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

第二节　参数方程 1.了解参数方程，了解参数的意义. 2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程. 参数方程 普通方程 x0＋tcos α y0＋tsin α a＋rcos θ b＋rsin θ acos φ bsin φ [方法技巧] 将参数方程化为普通方程消参的3种方法 (1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数． (2)利用三角恒等式消去参数． (3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数．　　 [方法技巧] (1)解决直线与圆、圆锥曲线的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆、圆锥曲线的位置关系来解决问题． [方法技巧] 处理极坐标、参数方程综合问题的方法 (1)涉及参数方程和极坐标方程的综合问题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程． (2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．　　 “课时验收评价” 见“课时验收评价” （七十三） (单击进入电子文档) 27 1．曲线的参数方程 在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的__________，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数． 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F(x，y)＝0叫做__________． 2．参数方程和普通方程的互化 (1)参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数． (2)普通方程化参数方程：如果x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另 一个变数与参数的关系y＝g(t)，则得曲线的参数方程__________. [提醒]　参数方程与普通方程互化的注意点 (1)在参数方程与普通方程的互化中，一定要注意变量的范围以及转化的等价性． (2)普通方程化为参数方程，参数方程的形式不唯一，即如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同． (3)直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离． 3．直线、圆与椭圆的普通方程和参数方程 轨迹 普通方程 参数方程 直线 y－y0＝tan α(x－x0) (t为参数) 圆 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 (θ为参数) 椭圆 ＋＝1(a>b>0) (φ为参数) 考点(一)　参数方程与普通方程的互化　 [典例]　已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(θ为参数)． (1)求直线l和圆C的普通方程； (2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围． [解]　(1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0， 圆C的普通方程为x2＋y2＝16. (2)因为直线l与圆C有公共点， 故圆C的圆心到直线l的距离d＝≤4， 解得－2≤a≤2. 即实数a的取值范围为[－2，2 ]． [针对训练] 将下列参数方程化为普通方程． (1)(t为参数)； (2)(θ为参数)． 解：(1)∵2＋2＝1， ∴x2＋y2＝1.∵t2－1≥0，∴t≥1或t≤－1. 又x＝，∴x≠0. 当t≥1时，0＜x≤1；当t≤－1时，－1≤x＜0， ∴所求普通方程为x2＋y2＝1， 其中或 (2)∵y＝－1＋cos 2θ＝－1＋1－2sin2θ＝－2sin2θ， sin2θ＝x－2，∴y＝－2x＋4，即2x＋y－4＝0. ∵0≤sin2θ≤1，∴0≤x－2≤1，∴2≤x≤3， ∴所求普通方程为2x＋y－4＝0(2≤x≤3)． 考点(二)　参数方程的应用　 [典例]　在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝6sin θ. (1)求直线l的倾斜角及曲线C的直角坐标方程； (2)设P(m,3)且直线l和曲线C的交点为A，B，若|PA|·|PB|＝1，求实数m的值． [解]　(1)∵直线l的普通方程为x＋y－m－3＝0，∴直线l的倾斜角为. ∵曲线C的极坐标方程为ρ＝6sin θ，即ρ2＝6ρsin θ， ∴曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－6y＝0. (2)直线l的参数方程为 代入x2＋y2－6y＝0，得t2－mt＋m2－9＝0.(*) 由Δ＝(－m)2－4(m2－9)＝36－2m2>0， 得m2<18. 设方程(*)的两根为t1，t2，则t1t2＝m2－9. ∴由|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|＝|t1t2| ＝|m2－9|＝1， 得m2＝10或m2＝8，均满