第8章 习题课 立体几何中的综合问题（课件PPT）-【新高考方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

阶段综合·融会建模　习题课——立体几何中的综合问题 [方法技巧] 解决空间角与翻折相结合的问题的关键：一是盯住量，即看翻折前后线面位置关系的变化情况，根据翻折过程，把翻折前后没有变化和发生变化的量准确找出来，因为它们反映了翻折后空间图形的特征；二是会转化，根据需要解决的立体几何问题，确立转化目标；三是得结论，对转化后的问题，用定义、判定定理、性质定理、公理、公式等解决．　　 综合考法二　空间角与探索性问题相结合 [方法技巧] 空间角存在性问题的解题策略 借助于空间直角坐标系，把几何对象上动态点的坐标用参数(变量)表示，将几何对象坐标化，这样根据所要满足的题设要求得到相应的方程或方程组．若方程或方程组在题设范围内有解，则通过参数的值反过来确定几何对象的位置；若方程或方程组在题设范围内无解，则表示满足题设要求的几何对象不存在．　　 [方法技巧] 空间几何体中的某些对象，如点、线、面，在约束条件下运动，带动相关的线段长度、几何体体积等发生变化，进而就有了面积与体积及角度的最值问题. 定性分析 在空间几何体的变化过程中，通过观察运动点的位置变化，确定其相关量的变化规律，进而发现相关面积或体积等的变化规律，求得其最大值或最小值 定量分析 将所求问题转化为某一个相关量的问题，即转化为关于其中一个量的函数，求其最大值或最小值的问题．根据具体情况，有函数法、不等式法、三角函数法等多种方法可供选择 “课时验收评价” 见“课时验收评价” （五十二） (单击进入电子文档) 28 综合考法一　空间角与翻折问题相结合 [典例]　如图1，在△ABC中，AB＝AC，BC＝2，点D，E分别为AB，AC的中点，BE，CD交于点O，OD＝1，如图2，把△ABE沿BE折起，A，D分别到达P，Q，CQ＝. (1)求证：平面BEP⊥平面BEC； (2)求平面BCP与平面OCP所成锐二面角的余弦值． [解]　(1)证明：在图1中AB＝AC，点D，E分别为AB，AC中点，所以＝＝，OB＝OC，OD＝OE，因为OD＝1，所以OB＝OC＝2，因为BC＝2，所以BE⊥CD，所以在图2中，OQ⊥BE，OC⊥BE，所以∠QOC是二面角P-BE-C的平面角，因为OQ＝1，OC＝2，CQ＝，所以OQ2＋OC2＝CQ2，∠QOC＝90°，所以平面BEP⊥平面BEC. (2)由(1)知，OB，OC，OQ两两垂直，以O为原点，直线OB，OC，OQ分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0，0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，P(－2，0,2)， ＝(－2,2,0)，＝(－4,0,2)，＝(0,2,0)，＝(－2,0,2)．设平面BCP的法向量为n＝(x1，y1，z1)，则有得取x1＝1，得n＝(1,1,2)，设平面OCP的法向量为m＝(x2，y2，z2)，则有得取x2＝1，得m＝(1,0,1)，设平面BCP与平面OCP所成锐二面角为θ，则cos θ＝＝＝，所以平面BCP与平面OCP所成锐二面角的余弦值为. [针对训练] 在四边形ABCD中，AB⊥AD，BD⊥BC，CD＝4AB＝4AD＝4.现将△BCD沿BD折起，使得点C到点P的位置，得到如图所示的三棱锥P-ABD，且∠PDA＝60°. (1)证明：平面PAD⊥平面ABD； (2)求直线AP与平面BPD所成角的正弦值． 解：(1)证明：在△PAD中，由题意知AD＝1，PD＝4，∠PDA＝60°，由余弦定理得， PA＝＝， 易知BD＝，所以PB＝＝. 又AB＝1，所以AB2＋AP2＝PB2，故AB⊥AP. 又AB⊥AD，AP∩AD＝A，AP⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD.又AB⊂平面ABD，所以平面PAD⊥平面ABD. (2)取PD的中点E，连接AE.因为AD＝1，DE＝2，∠PDA＝60°，所以由余弦定理得， EA＝＝， 所以EA2＋AD2＝ED2，所以EA⊥AD. 结合(1)知EA，AD，AB两两垂直． 如图，以A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1，0,0)，D(0，1,0)，E(0，0, )，P(0，－1,2)，所以＝(0，－1,2)，＝(－1，1,0)，＝(－1，－1，2)．设平面BPD的法向量为n＝(x，y，z)， 则即取x＝，则y＝，z＝1，故n＝(，，1)是平面BPD的一个法向量．所以cos〈n，〉＝＝，所以直线AP与平面BPD所成角的正弦值是. [典例]　如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝BB1＝2，BC⊥BA1. (1)求证：BC⊥AB； (2)若E为A1B的中点，三棱锥A-CEA1的体积为，线段CE上是否存在点P，使得二面角P-AB-E的大小为30°，若存在，求的值，若不存在，请说明理由．