第8章 第6节 空间向量与空间角（课件PPT）-【新高考方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

第六节　空间向量与空间角 1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题. 2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用. [0，π] 答案：C　 [方法技巧]　利用空间向量求线面角的解题模型 [方法技巧]　利用向量法解二面角问题的策略 找法向 量法 分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小 找与棱垂直的方向向量法 分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小 “课时验收评价” 见“课时验收评价” （五十一） (单击进入电子文档) 40 1．异面直线所成的角 (1)设两条异面直线a，b的方向向量分别为a，b，其夹角为θ，则cos φ ＝|cos θ|＝_______ (其中φ为异面直线a，b所成的角)． (2)两异面直线所成角φ的取值范围是_______. 2．直线与平面所成的角 (1)如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与 平面α所成的角为φ，向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝_______. (2)直线和平面所成角φ的取值范围是________. 3．二面角 (1)若AB，CD分别是二面角α-l-β的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量与的夹角，如图①. (2)平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面角α -l -β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝___________，如图②③. (3)二面角的平面角的取值范围是_______． 1．已知直线l1的方向向量s1＝(1,0,1)与直线l2的方向向量s2＝(－1，2，－2)，则l1和l2夹角的余弦值为 (　 ) A. B. C. D. 答案：C 2．如图，点A，B，C分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上，＝(0,0,2)，平面ABC的一个法向量为n＝(2,1,2)，设二面角C-AB-O的大小为θ，则cos θ＝(　 ) A. B. C. D．－ 解析：cos θ＝＝＝. 3．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为________． 解析：建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，由于AB＝2，BC＝AA1＝1，所以A1(1,0,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,1)，D1(0,0,1)，所以＝(－1，2，0)，＝(－1,0,1)，＝(0,2,0)． 设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)， 则有即令x＝2，得y＝1，z＝2，则n＝(2,1,2)．设D1C1与平面A1BC1所成角为θ，则sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝，即D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为. 答案： 4．已知向量m，n分别是直线l的方向向量、平面α的法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为________． 解析：设l与α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈m，n〉|＝，所以θ＝30°. 答案：30° 重难点——逐一精研(补欠缺) 重难点(一)　直线与平面所成的角　 [典例]　(2022·全国甲卷)在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝. (1)证明：BD⊥PA； (2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值． [解]　(1)证明：如图所示，取AB中点为O，连接DO，CO，则OB＝DC＝1. 又DC∥OB，所以四边形DCBO为平行四边形． 又BC＝OB＝1， 所以四边形DCBO为菱形，所以BD⊥CO. 同理可得，四边形DCOA为菱形，所以AD∥CO， 所以BD⊥AD. 因为PD⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，所以PD⊥BD，又AD∩PD＝D，AD，PD⊂平面ADP，所以BD⊥平面ADP. 因为PA⊂平面ADP，所以BD⊥PA. (2)由(1)知BD⊥AD，又AB＝2AD，所以∠DAO＝60°，所以三角形ADO为正三角形． 过点D作垂直于DC的直线为x轴，DC所在直线为y轴，DP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A，B，P(0,0，)，D(0,0,0)． 则＝(0,2,0)，＝，＝(0,0，)． 设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)， 则⇒ 令x＝2，则y＝0，z＝1，所以n＝(2,0,1)． 设直线PD与平面PAB所成的角为α，则sin α＝|cos〈n，〉|＝＝＝， 所以直线PD与平面PAB所成的角的正弦值为. [针对训练] 如图，已知四边形ACDE为菱形，∠CDE＝60