第8章 第5节 空间向量及其运算和空间位置关系（课件PPT）-【新高考方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

第五节　空间向量及其运算和空间位置关系 1.了解空间向量的概念，了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 2.掌握空间向量的线性运算、数量积及其坐标表示.能用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 3.理解直线的方向向量及平面的法向量.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系. 4.能用向量方法证明立体几何中有关直线、平面位置关系的判定定理.) 1．空间向量及其有关概念 平行或重合 x＋y＋z＝1 续表 2.数量积及坐标运算 (1)两个空间向量的数量积 a·b＝0 (2)空间向量的坐标运算 (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) (a1－b1，a2－b2，a3－b3) a1b1＋a2b2＋a3b3 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 　　3.直线的方向向量与平面的法向量 直线的方向向量 如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l____________，则称此向量a为直线l的方向向量 平面的法向量 直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量 平行或共线 4.空间位置关系的向量表示 n1＝kn2 n1·n2＝0 n·m＝0 n＝km n·m＝0 答案：C 答案：B 答案：10 答案：D　 [一“点”就过] 进行向量的线性运算，有以下几个关键点 (1)结合图形，明确图形中各线段的几何关系． (2)正确运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义． (3)平面向量的三角形法则、平行四边形法则在空间中仍然成立． 答案：C　 [方法技巧]　空间向量数量积的3个应用 [方法技巧] (1)选取空间不共面的三个向量为基底，用基底表示已知条件和所要解决的问题的过程就是将几何问题转化为向量问题的过程； (2)通过计算向量的数量积为0，可证明垂直问题； (3)要证线面平行，只要证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示即可．　　 答案：B　 答案：D　 “课时验收评价” 见“课时验收评价” （五十） (单击进入电子文档) 50 概念 语言描述 共线向量 (平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相___________ 共面向量 平行于同一个平面的向量 共线向量定理 对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb 共面向量定理 若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb 空间向量基本定理及推论 定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使＝x＋y＋z且_______________ 数量积 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉 垂直关系 a⊥b⇔__________ (a，b为非零向量) 模 设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝____________ a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 向量和 a＋b＝______________________ 向量差 a－b＝______________________ 数量积 a·b＝________________ 共线 a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0) 垂直 a⊥b⇔___________________ 夹角公式 cos〈a，b〉＝ 位置关系 向量表示 l1∥l2 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 n1∥n2⇔_________ (k∈R) l1⊥l2 n1⊥n2⇔___________ l∥α 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m n⊥m⇔_________ l⊥α n∥m⇔_______(k∈R) α∥β 平面α，β的法向量分别为n，m n∥m⇔n＝km(k∈R) α⊥β n⊥m⇔_________ (1)在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点． (2)在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点． (3)向量的数量积满足交换律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，但不满足结合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立． (4)由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故0不能作为基向量． (5)方向向量和法向量均不为零向量且不唯一． (6)用向量知识证明立体几何问题，仍离不开立体几何中的定理．若用直线的方向向量与平面的法向量