第8章 第4节 直线、平面垂直的判定与性质（课件PPT）-【新高考方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

第四节　直线、平面垂直的判定与性质 1.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线、面垂直的有关性质和判定定理. 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形中垂直关系的简单命题. 1．直线与平面垂直 (1)定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． (2)判定定理与性质定理 相交 平行 a，b⊂α a∩b＝O l⊥a l⊥b a⊥α b⊥α 射影 锐角 两个半平面 垂直 [0，π] (2)判定定理与性质定理 l⊥α l⊂β α∩β＝a 解析：对于A，直线m可能与α平行，或相交或在平面α内，故A不能判断．对于B，直线m可能与α平行，或相交或在平面α内，故B不能判断．对于C，由于一条直线m垂直于两个平行平面中的一个，那么直线m也垂直于另一个平面，故C正确．对于D，直线m可能与α平行，或相交或在平面α内，故D不能判断．综上所述，选C. 答案：C　 4．若正四棱锥的所有棱长都相等，则该棱锥的侧棱与底面所成的角的大小为________. 答案：A　 答案：A　 [一“点”就过] 解决空间中线面、面面垂直问题的方法 (1)依据定理得出结论； (2)可结合符合题意的图形作出判断； (3)否定命题时只需举一个反例． 答案：B　 答案：D　 [一“点”就过] 1．求二面角大小的步骤(一作二证三求) 2．作二面角的平面角的3种方法 [方法技巧]　判定线面垂直的4种方法 [方法技巧] 1．证明面面垂直的方法 定义法 利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题 定理法 利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，进而把问题转化为证明线线垂直加以解决 2.在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直. 　　 [方法技巧] 有关立体几何综合问题的解题方法 (1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化． (2)垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行，垂直的性质及判定的综合应用．　　 解析：根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面M垂直”，反之可以，所以是必要不充分条件． 答案：B　 2．(忽视位置关系中的分类讨论)已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面 (　 ) A．有且只有一个 B．至多有一个 C．有一个或无数多个 D．不存在 解析：当异面直线互相垂直时满足条件的平面有1个，当异面直线不互相垂直时满足条件的平面有0个． 答案：B　 答案：C　 “课时验收评价” 见“课时验收评价” （四十九） (单击进入电子文档) 49 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条______直线都垂直，则该直线与此平面垂直 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线______ 2．直线和平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的_____所成的_____叫做这条直线和这个平面所成的角． (2)线面角θ的范围：________. 3．平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念 ①二面角：从一条直线出发的____________所组成的图形叫做二面角． ②二面角的平面角：过二面角棱上的任一点，在两个半平面内分别作与棱_____的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角． ③二面角α的范围：_____． 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α (1)两个重要结论 ①若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． ②若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)． (2)使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”． (3)三种垂直关系的转化 1．已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，以下能判定m⊥α的是 (　 ) A．α⊥β且m⊂β B．α⊥β且m∥β C．α∥β且m⊥β D．m⊥n且n∥α 3．已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有________对. 答案：7 2．已知直线a，b与平面α，β，γ，能使α⊥β的充分条件是 (　 ) A．α⊥γ，β⊥γ B．α∩β＝a，b⊥a，b⊂β