第3章 习题课4 利用导数研究函数零点问题（课件PPT）-【新高考方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

阶段综合融会建模 习题课4一利用导数研究函数零点问题 综合考法一研究函数零点个数 [典例已知函数f)=3-a2+x+1): (1)若a=3,求fx)的单调区间： (2)证明：fx)只有一个零点. 解（当a=3时.f)=3-32-3-3. f')=x2-6r-3. 合f'x)=0,解得x=3-2V3或x=3+2V3. 当x∈(-∞，3-2V3)V3+2N3,+©)时，f')>0: 当xE(3-2V3,3+2V3)时，f′x)<0. 故fx)的单调递增区间为(-∞，3一2V3),(3十2V3,+∞)，单调递减区间 为3-2V3,3+23) (2)证明：因为x2+x十1>0， 所以f)=0等价于x2+x+1-3=0. 设g6)=x2+x+1一3a, 则g0 仅当x=0时，g'x)=0, 所以gx)在（一∞，十∞）上单调递增 故gx)至多有一个零点，从而fx)至多有一个零点. 又f06a-1)=-602+2a}-6a-君}-名0，f3a+)=字0.故/有- 个零点. 综上，fx)只有一个零点， [方法技巧啊 判断函数零点个数的3种方法 直接法 令fx)=0,则方程解的个数即为零点的个数 画图法 转化为两个易画出图象的函数，看其交点的个数即可 定理法 利用零点存在性定理判定，可结合最值、极值去解决 [针对训练幻 设函数)=lnx+处m∈R. (1)当m=e(e为自然对数的底数时，求fx)的极小值； (2)讨论函数g)f')一零点的个数。 解：()由题意知，当m=e时，f)=nx+>0), 则')=.÷当.E(0.o时了'0.e)在0.0止单调递减： 当xE(e,+o)时，f'(x)>0,fx)在(e,+o)上单调递增， :当x=e时，fw)取得极小值fe)=lne+。=2。 ÷fx)的极小值为2. (②由题意知gf')言竖0 合g)=0,得m=+x>0 设pe)=子+x≥0. 则p'x)=-x2+1=一c-1)c+1) 当x∈(0,1)时，p'(x)>0,px)在(0,1)上单调递增； 当E(1,+∞)时，p'c)<0,pc)在(1，+∞)上单调递减 :x=1是px)的唯一极值点，且是极大值点， 因此x=1也是px)的最大值点， “6)的最大值为()=子 又：p(0)=0. 结合y=px)的图象（如图，可知， ①当m时。雨数gy无需点： 23 y=o(x) ②当m=了时.西数g)有且只有一个若点： ③当0<m了时，函数g有两个点： ④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点. 综上所述，当m时.函数g无需点： 当m了或m0时，函数g有且只有一个器点； 当0<m了时.函数gy有两个秀点 综合考法二己知零点存在情况求参数范围 [典例]设函数fc)=一x2+ax十Inx(a∈R). (1)当a=一1时，求函数fx)的单调区间； (2若函数}3上有两个零点，求实数a的取值范围。 [解](1)函数fx)的定义域为0，+o), 当a=一1时， f'=-2x-1+是2x山 合f'(w)=0,得x=负值舍去) 当0<2时f'e>0:当x时.f'0. ÷f的单调递增区间为0.引单调递减区间为6：+】 (2)合f)=-x2+ax+Inx=0.得a=x_nx 合g)=-n其中e尽3 则g侧=1n-g合g的=0，得1.好1时， g′(x)<0;当1<x≤3时，g'x)>0, “g6)的单调递减区间为3，)单调递增区间为1,3引 “8=g0=1.:函数r在g3上有两个需点.名日=3加3+好g3) =33.3+-3 i实数a的取值范围是1.3-？ 方法技巧 本题是已知区间上有零点，求参数的范围问题.由于有些函数图象较为复 杂，也没有固定的形状特点，所以在研究此类问题时，可以从两个方面去思考： ()根据区间上零点的个数情况，估计出函数图象的大致形状，从而推导出 导数需要满足的条件，进而求出参数满足的条件： (2)也可以先求导，通过求导分析函数的单调情况，再依据函数在区间内的 零点情况，推导出函数本身需要满足的条件，此时，由于函数比较复杂，常常 需要构造新函数，通过多次求导，层层推理得解