第4章 习题课-解三角形中的综合问题（课件PPT）-【新高考方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

[方法技巧] 求解三角形中有关边长、角、面积的最值(范围)问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立a＋b，ab，a2＋b2之间的等量关系与不等关系，然后利用函数或基本不等式求解．　　 [针对训练] 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且(a－c)·sin(A＋B)＝(a－b)(sin A＋sin B)． (1)求角B的大小； (2)若b＝4，求a＋c的最大值． [方法技巧] (1)解决三角形中的某个量的最值或范围问题，除了利用基本不等式外，再一个思路就是利用正弦定理、余弦定理，把该量转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解． (2)利用三角函数求解最值或范围问题的关键是求三角函数中角的范围，此时要特别注意题目隐含条件的应用，如锐角三角形、钝角三角形，三角形内角和为π等．　　 [方法技巧] 多三角形背景解三角形问题的求解思路 (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．解题时，有时要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的性质，要把这些知识与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．　　 “课时验收评价”见“课时验收评价(二十八)” (单击进入电子文档) 21 阶段综合·融会建模　eq \a\vs4\al(习题课——解三角形中的综合问题) 综合考法一　利用基本不等式求最值或范围 [典例]　已知在△ABC中，三边a，b，c分别对应三个内角A，B，C，且eq \f(a,c＋b－a)＝eq \f(c－b＋a,b). (1)求角C的大小； (2)当△ABC外接圆半径R＝1时，求△ABC面积的最大值，并判断此时△ABC的形状． [解]　(1)∵eq \f(a,c＋b－a)＝eq \f(c－b＋a,b)， ∴c2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－a))2＝ab，即b2＋a2－c2＝ab， 由余弦定理可得：cos C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(1,2)， 又角C为△ABC的内角，因此C＝eq \f(π,3). (2)∵△ABC外接圆半径R＝1，∴由正弦定理可得：2R＝eq \f(c,sin C)，则c＝2Rsin C＝eq \r(3)， ∴b2＋a2－3＝ab，则ab＋3＝a2＋b2≥2ab， ∴ab≤3，当且仅当a＝b＝eq \r(3)时等号成立， ∴△ABC的面积S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(\r(3),4)ab≤eq \f(3\r(3),4). 即△ABC的面积的最大值是eq \f(3\r(3),4)，此时△ABC是等边三角形． 解：(1)在△ABC中，∵sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C， ∴(a－c)sin C＝(a－b)(sin A＋sin B)． 由正弦定理得(a－c)c＝(a－b)(a＋b)， 整理得c2＋a2－b2＝ac. 由余弦定理得cos B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ac)＝eq \f(1,2)， 又0<B<π，∴B＝eq \f(π,3). (2)∵b＝4，∴a2＋c2－16＝ac，即(a＋c)2－16＝3ac. ∵ac≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋c,2)))2，∴(a＋c)2－16≤3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋c,2)))2， ∴eq \f(1,4)(a＋c)2≤16，∴a＋c≤8，当且仅当a＝c时等号成立．∴a＋c的最大值为8. 综合考法二　利用三角函数的性质求最值或范围 [典例]　在①2asin B－bcos C－ccos B＝0，②sin2A－sin2B＋sin2C－eq \r(3)sin Asin C＝0，③sin Asin C－eq \r(3)sin B－cos Acos C＝0三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答． 已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足________(填写序号即可)． (1)求B； (2)若a＝1，求b＋c的取值范围． [解]　(1)若选①，由正弦定理得2sin Asin B＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋C))＝sin A， 因为sin A≠0，所以sin B＝eq \f(1,2)，又因为B∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以B＝eq \f(π,6). 若选②，由正弦定理得a2－b2＋c2－eq \r(3)ac＝0，即a2＋c2－b2＝eq \r(3)ac， 由余