第4章 第6节 余弦定理与正弦定理（课件PPT）-【新高考方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

第六节　余弦定理与正弦定理 1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 1．余、正弦定理的内容及其变形 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则 3．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sin A∶sin B∶sin C＝3∶4∶5，则△ABC的形状是 (　 ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 解析：由正弦定理可知a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝3∶4∶5， 设a＝3t，b＝4t，c＝5t(t>0)， 所以a2＋b2＝25t2＝c2，所以AC⊥BC，所以△ABC的形状是直角三角形． 答案：B　 5．在△ABC中，已知A＝60°，c＝5，a＝7，则△ABC的面积为________． [一“点”就过] 利用正弦定理解决的2类问题及其解题步骤 [一“点”就过] 利用余弦定理解决的2类问题及其解题步骤 [方法技巧] 1．判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁． 2．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制．　　 [针对训练] 1．若本例(1)条件改为“asin A＋bsin B<csin C”，那么△ABC的形状为_____． 2．若本例(1)条件改为“c－acos B＝(2a－b)cos A”，那么△ABC的形状___． [方法技巧] 与三角形面积有关问题的解题策略 (1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积； (2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量．　　 层级三/ 细微点——优化完善(扫盲点) 1．(解三角形漏解或多解) (1)已知在△ABC中，三个内角为A，B，C，sin 2A＝sin 2B，则△ABC是(　 ) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰或直角三角形 “课时验收评价”见“课时验收评价(二十七)” (单击进入电子文档) 35 b2＋c2－2bccos A c2＋a2－2cacos B a2＋b2－2abcos C eq \f(b,sin B) eq \f(b2＋c2－a2,2bc) eq \f(c2＋a2－b2,2ac) eq \f(a2＋b2－c2,2ab) sin A∶sin B∶sin C 定理 余弦定理 正弦定理 内容 a2＝ ； b2＝ ； c2＝ eq \f(a,sin A)＝ ＝eq \f(c,sin C)＝2R 变形 cos A＝ ； cos B＝ ； cos C＝ (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)a∶b∶c＝ ； (3)eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C) ＝eq \f(a,sin A)＝2R eq \f(1,2)bcsin A 2．三角形常用面积公式 (1)S＝eq \f(1,2)a·ha(ha表示边a上的高)； (2)S＝eq \f(1,2)absin C＝ ＝ ； (3)S＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)． eq \f(1,2)acsin B (1)在△ABC中，A＋B＋C＝π.变形：eq \f(A＋B,2)＝eq \f(π,2)－eq \f(C,2). (2)大边对大角，大角对大边，如a＞b⇔A＞B⇔sin A＞sin B． (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4)有关三角形内角的三角函数关系式：sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sineq \f(A＋B,2)＝coseq \f(C,2)；coseq \f(A＋B,2)＝sineq \f(C,2). (5)在△ABC中，内角A，B，C成等差数列⇔B＝eq \f(π,3)，A＋C＝eq \f(2π,3). (6)在斜△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C. (7)三角形射影定理： 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B； b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B． 答案：