第2章 第2节 函数的单调性与最大(小)值（课件PPT）-【新高考方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

第二节　函数的单调性与最大(小)值 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值.　 2.理解函数单调性与最值的作用和实际意义. 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义   增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有 ，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有 ，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 f(x1)<f(x2) f(x1)>f(x2) (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是 或 ，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 增函数 减函数 2．函数的最值 前提 设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 对于任意x∈I， 都有 ； 存在x0∈I， 使得_________ 对于任意x∈I， 都有 ； 存在x0∈I， 使得_________ 结论 M为最大值 M为最小值 f(x)≤M f(x0)＝M f(x)≥M f(x0)＝M 2．掌握以下几个注意点 (1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示． (2)求函数单调区间或讨论函数的单调性时，必须先求函数的定义域． (3)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． (4)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M. 2．函数f(x)＝x2－2x的单调递增区间是 (　 ) A．(1，＋∞) B．(－∞，1) C．(－1，＋∞) D．(－∞，－1) 答案：A 5．已知函数f(x)＝x2－2kx＋4在[5,20]上单调，则实数k的取值范围是________． 解析：易知f(x)＝x2－2kx＋4的图象的对称轴为x＝k，由题意可得k≤5或k≥20. 答案：(－∞，5]∪[20，＋∞) 2．函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是 (　 ) A．(－∞，－2) B．(－∞，1) C．(1，＋∞) D．(4，＋∞) 解析：函数y＝x2－2x－8＝(x－1)2－9图象的对称轴为直线x＝1， 由x2－2x－8>0，解得x>4或x<－2， 所以(4，＋∞)为函数y＝x2－2x－8的一个单调递增区间． 根据复合函数的单调性可知， 函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间为(4，＋∞)． 答案：D　 3．函数f(x)＝|x2－3x＋2|的单调递减区间是________________． [一“点”就过] 判断函数的单调性或单调区间的方法 定义法 一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论 图象法 若函数f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定函数的单调区间 性质法 对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各基本初等函数的增减性及“增＋增＝增，增－减＝增，减＋减＝减，减－增＝减”进行判断 所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0， 故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1,1)内单调递减； 当a<0时，f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1,1)内单调递增． 综上，当a>0时，f(x)在(－1,1)内单调递减； 当a<0时，f(x)在(－1,1)内单调递增． [方法技巧] 当函数解析式中含有参数时，注意对参数的讨论及分类讨论的接点．　　 [方法技巧] 利用函数的单调性比较大小的方法 比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数性质，将自变量的值转化到同一个单调区间内进行比较．对于选择题、填空题，通常选用数形结合的方法进行求解．　　 [方法技巧] 在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．　　 [方法技巧] 利用函数单调性求参数的策略 (1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数． (2)需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的． (3)分段函数的单调性需要分段研究，既要保证每一段函数的单调性，还要注意每段端点值的大小．　　 3．已知函数f(x)＝－x|x|，x∈(－1,1)，则不等式f(1－m)<f(m2－1)的解集为________． [方法技巧]　求函数最值的5种常用方