第3章 第1节 导数的概念及运算、定积分（课件PPT）-【新高考方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 续表 3．基本初等函数的导数公式 (1)f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，且(f(x0))′＝0. (2)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．周期函数的导数还是周期函数． (4)曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点． (5)函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡峭”． (6)在复合函数求导中要分清每一步求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆． 1．下列函数中满足f(x)＝f′(x)的是 (　 ) A．f(x)＝3＋x B．f(x)＝－x C．f(x)＝ln x D．f(x)＝0 解析：若f(x)＝0，则f′(x)＝0，从而有f(x)＝f′(x)．故选D. 答案：D　 答案：D 5．曲线y＝(ax＋1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a＝________. 解析：∵y′＝(ax＋a＋1)ex， ∴当x＝0时，y′＝a＋1， ∴a＋1＝－2，解得a＝－3. 答案：－3 2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝(　 ) A．－e B．－1 C．1 D．e 解：(1)y′＝(cos x)′－(sin x)′＝－sin x－cos x. (2)∵y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3) ＝(x2＋3x＋2)(x＋3) ＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝3x2＋12x＋11. [一“点”就过] (1)求导之前，应利用代数运算、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的商的求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错． (2)①若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导． ②复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元． 基础点(二)　求曲线在某点处的切线方程　 [题点全训] 1．曲线y＝ex－1＋x2在x＝1处的切线方程为 (　 ) A．y＝2x＋1 B．y＝2x C．y＝3x－1 D．y＝3x 解析：对函数y＝ex－1＋x2求导得y′＝ex－1＋2x，故当x＝1时，斜率k＝e1－1＋2＝3， 又切线过点(1,2)，故切线方程为y－2＝3(x－1)，即y＝3x－1. 答案：C　 [一“点”就过] 正确选用求定积分的4个常用方法 方法 适用类型 解题思路 定理法 较简单函数 利用微积分基本定理求定积分，其关键是求出被积函数的原函数 性质法 绝对值函数、分段函数 利用定积分的性质将积分区间分解为若干部分求解 层级二/ 重难点——逐一精研(补欠缺) 重难点(一)　求曲线过某点的切线方程　 [典例]　若经过点P(2,8)作曲线y＝x3的切线，则切线方程为 (　 ) A．12x－y－16＝0 B．3x－y＋2＝0 C．12x－y＋16＝0或3x－y－2＝0 D．12x－y－16＝0或3x－y＋2＝0 过点的切线方程的求解方法 设切点为P(x0，y0)，则斜率k＝f′(x0)，过切点的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)，又因为切线方程过点A(m，n)，所以n－y0＝f′(x0)(m－x0)，然后解出x0的值．(x0有几个值，就有几条切线) [提醒]　在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．　　 重难点(二)　求切点坐标或参数　 [典例]　(1)已知曲线y＝2ex－1在x0处的切线方程为2ex－y＋m＝0，则 (　 ) A．m＝－1 B．m＝－1－e C．m＝1 D．m＝e (2)函数f(x)＝ln x＋ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是________． [解析]　(1)因为y＝2ex－1，所以y′＝2ex， 所以曲线y＝2ex－1在x0处的切线的斜率为k＝y′|x＝x0＝2ex0， 又因为切线方程为2ex－y＋m＝0，即y＝2ex＋m，得k＝2e， 所以2ex0＝2e，解得x0＝1， 所以当x＝x0＝1时，y＝2ex0－1＝2e－1，即切点为(1,2e－1)， 将其代入切线方程得2e×1－(2e－1)＋m＝0，得m＝－1. 求切点、参数问题的方法 通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出关于参数的方程(组)并解出参数，注意以下几点：切点处的导数是切线的斜率；切点在切线上；切点在曲线上．　　 2．曲线y＝sin x＋2x＋1在点P处的切线方程是3x－y＋1＝0，则切点P的坐标是________． 解析：由函数y＝sin x＋2x＋1，则y′＝cos x＋2， 设切点P的坐标为(x0，y0)，则斜率k