第2章 第9节 函数模型及其应用（课件PPT）-【新高考方案】2024高考数学（理科）一轮复习（老教材 新高考）

第九节　函数模型及其应用 1.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律. 2.结合现实情境中的具体问题，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义. 1．几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 2.三种函数模型的性质 函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞)上的单调性 单调_____ 单调____ 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大，逐渐表现为与 平行 随x的增大，逐渐表现为与 平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax 递增 递增 y轴 x轴 (1)“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢． (2)充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键． (3)易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性． 1．已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所 示．假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时 刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不 计)．如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大 利润是 (　 ) A．40万元 B．60万元 C．80万元 D．120万元 解析：当甲商品的价格为6元时，该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40(万元)；当乙商品的价格为4元时，该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80(万元)．故该商人共获利40＋80＝120(万元)． 答案：D　 3．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是 (　 ) A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x) C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x) 解析：在同一平面直角坐标系内，根据函数图象变化趋势，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次g(x)>f(x)>h(x)． 答案：B　 2．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x(单位：件)与单价P(单位：元)之间的关系为P＝160－2x，生产x件所需成本为C(单位：元)，其中C＝500＋30x，若要求每天获利不少于1 300元，则日销量x的取值范围是 (　 ) A．{x|20≤x≤30，x∈N*} B．{x|20≤x≤45，x∈N*} C．{x|15≤x≤30，x∈N*} D．{x|15≤x≤45，x∈N*} 解析：由题意日销量x件时，利润是y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500，－2x2＋130x－500≥1 300，(x－20)(x－45)≤0,20≤x≤45.故选B. 答案：B　 [一“点”就过] 求解已知函数模型解决实际问题的关键 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验. 基础点(二)　利用函数图象刻画实际问题　 [题点全训] 1．(2022·肇庆高三三模)某工厂从2013年开始，近八年以来生产某种产品的情况是：前四年年产量的增长速度越来越慢，后四年年产量的增长速度保持不变，则该厂这种产品的年产量y与时间t的函数图象可能是 (　 ) 解析：由题意可得，图象的几何特征应为从左向右看每个点的切线斜率应逐渐减小，然后斜率变为一个固定的值，符合此特征的只有选项B中的图象，故选B. 答案：B　 2．已知正方形ABCD的边长为4，动点P从点B开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是 (　 ) 解析：依题意知，当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4<x≤8时，f(x)＝8；当8<x≤12时，f(x)＝24－2x，观察四个选项知D项符合要求． 答案：D　 3．小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头方向经过点B跑到点C，共用时30 s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为t(单位：s)，他与教练间的距离为y(单位：m)，表示y与t的函数关系的图象大致