22.2 二次函数与一元二次方程（讲+练，九大题型）-【划重点】2023-2024学年九年级数学上册同步讲与练（人教版）

22.2 二次函数与一元二次方程 学习目标：1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式)之间的联系. 2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集. 3.了解用图象法求一元二次方程的近似根. 重点：能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集. 难点：通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式)之间的联系. 知识点一 二次函数与一元二次函数的关系 1. 二次函数与一元二次方程的关系 二次函数的图象与轴交点的横坐标就是一元二次方程 的解. 2. 二次函数的图象与轴的交点的情况和对应的一元二次方程的根的情况的关系 的取值 二次函数 的图象与轴的交点 有两个交点 ， 有一个交点 无交点 有两个交点 ， 有一个交点 无交点 一元二次方程 的实数根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 求抛物线与x轴的交点坐标的方法 (1) 已知抛物线的解析式时,转化为解一元二次方程的问题; (2)已知抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴时，一般利用抛物线的对称性求解. 即学即练（2023·福建泉州·统考一模）二次函数的图象与轴的交点坐标为 ． 知识点二 图象法求解一元二次方程 1.方法一 通过求二次函数与轴的交点标从而求出一元二次方程的解. 具体步骤如下： (1)画:在平面直角坐标系中画出二次函数的图象; (2)看:观察图象确定抛物线与轴的交点坐标: (3)写:交点的横坐标即为一元二次方程的解. 2.方法二 通过求抛物线与直线的交点坐标求得一元二次方程的解. 具体步骤如下: (1)画:在平面直角坐标系中画出函数与[或与或与]的图象; (2)看：观察图象，确定抛物线与直线的交点标； (3)写:交点的横坐标即为一元二次方程的解. 提示： 用图象法解一元二次方程是数形结合思想的具体应用，可类比用一次函数的图象解一元一次方程的方法,在平面直角坐标系中画出二次函数的图象，由图象与x轴交点的横坐标求一元二次方程的解.但由于作图或观察存在误差，因此通过这种方法求得的方程的解一般是近似的. 即学即练 （2023·广东深圳·深圳市龙岗区深圳中学龙岗初级中学校考模拟预测）二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（    ）    A． ， B． C． D． 时，不等式一定成立 知识点三 二次函数与一元二次不等式的关系 二次函数与一元二次不等及之间的关系如下: 二次函数 的图象与轴的交点 有两个交点 ， 有一个交点 无交点 不等式 的解集 或 （或） 全体实数 不等式 的解集 无解 无解 二次函数 的图象与轴的交点 有两个交点 ， 有一个交点 无交点 不等式 的解集 无解 无解 二次函数 的图象与轴的交点 或 （或） 全体实数 （1）二次函数的图象在轴上方的点的纵坐标都为正，所对应的的所有值的集合就是不等式的解集;在轴下方的点的纵坐标都为负，所对应的的所有值的集合就是不等式的解集. （2）像、此类不等式中带有等号，那么其解集也相应带有等号. 即学即练（2023·湖北武汉·模拟预测）二次函数的部分图象如图所示．对称轴为，图象过点，且，以下结论： ①； ②； ③关于的不等式的解集：； ④若，且，则； 其中正确的结论是 ．    题型一 抛物线与x轴交点情况的判断 例1 （2023·广东佛山·校联考一模）已知抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如表所示，为常数： … 0 1 … … 2 6 … 给出下列说法：①抛物线开口向上；②抛物线顶点坐标为；③抛物线与轴交点为；④抛物线与轴有两个交点；⑤抛物线对称轴在轴右侧；以上说法正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．②④⑤ 举一反三1 （2023秋·江西赣州·九年级统考期末）抛物线的部分图象，如图所示，与x轴的一个交点为，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③若点和点在抛物线图象上，那么当，时，；④，其中正确的结论个数有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 举一反三2 （2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）已知二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点B的坐标为其图象如图所示，下列结论：①； ②； ③一元二次方程的两个根是和1；④当时，；⑤当时，y随x的增大而增大；⑥若点，，是函数图象上的三点，则，其中正确的有（　　）个 A．5 B．4 C．3 D．2 题型二 利用抛物线与x轴的交点求字母的取值范围 例2 （2023