湖南省长沙市南雅中学2023-2024学年高三上学期入学考试数学试题

长沙市南雅中学高三年级2023年下学期入学检测 数 学 时量：120分钟 分值：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知z是方程的一个根，则（　 　） A．1 B． C． D．2 2．集合，，，且{4，5}，{1，2，3}，{6，7，8}，则（　 　） A．{4，5，6，7} B．{4，5，6，9} C．{4，5，9，10} D．{4，5，6，9，10} 3．已知函数的一条对称轴为直线，一个周期为4，则的解析式可能为（　 　） A． B． C． D． 4．椭圆（）的焦点为F1，F2，上顶点为A，若∠F1AF2=，则m=（　 　） A．1 B． C． D．2 5．二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是21×21大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有2441种不同的码，假设我们1万年用掉3×1015个二维码，那么大约可以用（　 　）（，） A．10117万年 B．10118万年 C．10119万年 D．10200万年 6．等比数列的前n项和为，若，，则（　 　） A．60 B．70 C．80 D．150 7．某学校有男生600人，女生400人．为调查该校全体学生每天的运动时间，采用分层抽样的方法获取容量为n的样本．经过计算，样本中男生每天运动时间的平均值为80分钟，方差为10；女生每天运动时间的平均值为60分钟，方差为20．结合数据，估计全校学生每天运动时间的方差为（　 　） A．96 B．110 C．112 D．128 8．过直线上一点向圆O：作两条切线，设两切线所成的最大角为，则（　 　） A． B． C． D． 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．若a，b，，，则下列不等式恒成立的是（　 　） A． B． C． D． 10．若函数，则（　 　） A．在（0，）上单调递增 B．有两个零点 C．在点（，）处切线的斜率为 D．是偶函数 11．某通信工具在发送、接收信号时都会使用数字0或是1作为代码，且每次只发送一个数字．由于随机因素的干扰，发出的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收成0或1的概率分别为0.94和0.06；发送信号1时，接收成1或0的概率分别为 0.96和0.04．假设发送信号0或1的概率是等可能的，则（　 　） A．已知两次发送的信号均为1，则接收到的信号均为1的概率为 B．在单次发送信号中，接收到0的概率为0.49 C．在单次发送信号中，能正确接收的概率为0.96 D．在发送三次信号后，恰有两次接收到0的概率为 12．如图，棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1的内切球为球O，E、F分别是棱AB和棱CC1的中点，G在棱BC上移动，则下列结论成立的有（　 　） A．存在点G，使OD⊥EG B．对于任意点G，OA∥平面EFG C．直线EF的被球О截得的弦长为 D．过直线EF的平面截球О所得的所有圆中，半径最小的圆的面积为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知向量，，若，，则________． 14．若为偶函数，则实数a=________． 15．设双曲线C：（，）的右焦点为F，以线段OF（O为坐标原点）为直径的圆交双曲线C的一条渐近线于O、A两点，且，则双曲线C的离心率为________． 16．已知，若存在{0，1，2，…，100}使得，则k的最大值为________． 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分10分） 已知为等差数列，且公差，是和的等比中项． （1）若数列的前m项和Sm=66，求m的值； （2）若，，，，…，成等比数列，求数列的通项公式． 18．（本小题满分12分） 记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且． （1）求角A的大小； （2）设BC边上的高AD=1，求△ABC面积的最小值． 19．（本小题满分12分） 如图，圆锥P0的高为3，AB是底面圆O的直径，PC，PD为圆锥的母线，四边形ABCD是底面圆O的内接等腰梯形，且AB=2CD=2，点E在母线PB上，且BE=2EP． （1）证明：平面AEC⊥平面POD； （2）求平面AEC与平面EAB的夹角的余弦值． 20．（本小题满分12分） 已知动圆O1过定点D（2，0），且在y轴上截得弦长为4． （1）求动圆圆心O1的轨迹C的方程； （2）过点T（0，1）的直线l与轨迹C交于A，B两点，若点P（1，2）满足直线PA与直线PB的倾斜角互补，求的值． 21．（本小题满分12分） 已知