3.2.1 单调性与最大小值(第1课时 )课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.2.1 单调性与最大（小）值 第1课时 函数的单调性 3.2 函数的基本性质 观察下列函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些性质？ 1 .从左向右图象有什么变化趋势？ 2 .函数图象是否具有某种对称性？ 函数的单调性（即增减性） 函数的奇偶性 问题引入 x y o x y o x y o 在某一区间内，自左向右看 图像逐渐上升——y随着x 的增大而增大； 图像逐渐下降——y随着x的增大而减小。 函数的这种性质称为函数的增减性（单调性） 先下降，再上升 下 降 上升 如何用符号语言来描述函数的增减性？ 新知探究 对区间 (0, +∞)内任意 x1，x2 ， 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2) 在(0, +∞)上随着x的增大，y也增大 图象在 (0, +∞)上逐渐上升 0 f (x1) f (x2) y x1 x2 x y 此时，我们称函数f(x)为区间 (0, +∞)的增函数 新知探究 对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 当 时, 都有 就说函数 在区间D上单调递增. 都有 当 时, 就说函数 在区间D上单调递减. 单调性概念： 概念生成 如果函数 y =f(x)在区间D是增函数或减函数，那么就说函数 y =f(x)在区间D上具有(严格的)单调性,区间D叫做y =f(x)的单调区间。 特别地， 当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它增函数； 当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数； 概念生成 思考：函数 各有怎样的单调性 O x y 新知探究 第一、在中学数学中所说的单调性是指严格的单调性, 即必须是f(x1)<f(x2) (或f(x1)>f(x2)),而不能是f(x1)≤f(x2) (或f(x1)≥f(x2)); 对函数单调性的理解 第二、函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的, 是局部概念; 第三、 当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 ) 等价与 当x1<x2时，都有f(x1 ) > f(x2 ) 等价与 总结提升 解:函数y=f(x)的单调区间有[－5,－2）,[－2,1) ，[1，3), [3，5]. 逗号 隔开 如图是定义在闭区间[－5,5]上的函数 y = f(x)的图象, 根据图象说出函数的单调区间, 以及在每一单调区间上, 函数是增函数还是减函数？ 其中y=f(x)在区间[－2，1)，[3，5]上是增函数； 说明:孤立的点没有单调性,故区间端点处若有定义写开写闭均可. 在区间[－5，－2），[1，3)上是减函数. -4 3 2 1 5 4 3 1 2 -1 -2 -1 -5 -3 -2 x y O 小试牛刀 思考1： 新知探究 思考2： 函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是 单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间单调递增但在另 一些区间上单调递减的函数例子吗？ 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -2 -3 2 3 o 新知探究 例1：根据定义，研究函数f(x)=2x+3的单调性 典例分析 思考3：函数f(x)=kx+b(k是怎样的？您能用定义证明你的结论吗？ 则 ①当k>0时， 于是 ②当k<0时， 于是 新知探究 典例分析 作差变形 定号 下结论 取值 证明： V1,V2(0,+∞)，且V1<V2, 所以，函数 v∈(0,+∞)是减函数，也就是说，当体积减小时，压强p将增大. 典例分析 ①取值：即设x1、x2是该区间内的任意两个值,且x1<x2; ②作差变形：即作差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1)),并用因式分解、配方、有理化等方法将差式向有利于判断差的符号的方向变形; ③定号：确定差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1))的符号,当符号不确定时,可进行分类讨论; ④下结论：根据定义得出结论. 利用定义证明或判断函数在指定区间上的单调性的步骤: 提升总结： 总结提升 例3 根据定义证明函数 在区间 上单调递增。 证明： 所以，函数 在区间 上单调递增。 此函数在（0，1）上的