第3讲 循环小数中的周期模型-五年级数学上册 数学思想方法系列（人教版）

第3讲 周期问题的应用 在日常生活中，经常会有一种按照一定的规律不断重复出现的现象。比如我们国家的十二生肖，就是按鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪这样的顺序不断重复出现的。在数学中，也常会碰到-些重复出现的问题。在研究这些问题时，不仅要能发现其不断重复出现这一现象，还要找到重复出现的规律，也就是要找出循环的固定数，即周期。 如上所述的十二生肖，12种动物循环出现，也就是12个数的循环，周期是12; 又如一个星期有7天，也是一个循环，按星期一、星期二、星期三、星期四、星期五、星期六、星期日这样的顺序不断重复出现，7个数的循环，周期就是7。 研究循环周期问题时，还要能根据周期数确定余数,从而根据余数来判定所求的问题是一个循环中的第几个数。周期问题的解题步骤： (1)观察、分析数、图形或事物的变化是否重复循环出现并具有周期性； (2)每几个循环一次，谁开始谁结束，周期是多少； (3)每个循环节按什么次序排列； (4)利用除法算式求出余数，根据余数得出正确的结果。 【例题1】在一条大道上，每隔900米有一个红绿灯．所有的红绿灯都按绿灯30秒、黄灯5秒、红灯25秒的时间周期重复变换．一辆汽车通过第一个红绿灯以后，它以每小时多少千米的速度行驶，可以在这条大道上所有的红绿灯路口都遇到绿灯？ 思路分析：把每次红绿灯的变化看成一个周期，先求出路灯循环一个周期是多少秒，再化成小时；只要行驶的时间是一个周期即可，用路程除以一个周期的时间就是这辆车的速度． 规范解答：（秒； 60秒小时， 900米千米； （千米）； 答：它以每小时54千米的速度行驶，可以在这条大道上所有的红绿灯路口都遇到绿灯． 【例题2】3÷7的商是一个循环小数． （1）它的商的小数点后的第22位上的数字是几？ （2）小数部分前22位上的所有数字之和是多少？ 思路分析：，循环节是428571，6个数字一个循环周期，只要看22位里面有几个循环周期，再结合余数即可得出答案． 规范解答：，循环节是428571，6个数字一个循环周期， （1），第22位上的数字，在第4个周期的第四个数是5， 答：它的商的小数点后的第22位上的数字是5． （2）小数部分前22位上的所有数字经历了3个周期与四个数字， 所以，和是：， 答：小数部分前22位上的所有数字之和是100． 【例题3】一位数学家被他的小女儿吸引住了．女孩子坐在地上，伸开左手，正在数手指呢！她的数法是：大拇指为1，食指为2，中指为3，无名指为4，小指为5，然后换向，无名指为6，中指为7，食指为8，大拇指为9，再换向，食指为数到50还没有停下，数学家就去问她：“孩子，你数手指头干吗呢？你要数到多少才停下呢？” 女孩站起身说：“我要数到1981，看停在哪个手指上！” 思路分析：根据题意，观察图片，可得小指所表示的数字的规律，及其计数的顺序，先从大拇指开始，是5个数，后来从6开始每8个数字循环回到小指一次，根据（要求数字循环周期计算，根据余数进而可得答案． 规范解答：， ， 没有余数，所以是在小指上． 答：1981停在小指上． 【例题4】 4÷7的商的小数部分前 100位中7和2各出现了多少次? 这100位数字的和是多少? 思路分析：先计算出算式的商，4÷7=0.571428，商是循环小数，循环节是571428，即周期是6，商的小数部分按照5、7、1、4、2、8的顺序依次不断重复出现。100÷6=16(个)……4(位)，每个周期里7和2各出现1次，余下的4位数字分别是5、7、1、4，这样就可以求出7和2各出现了多少次；每个周期中数字之和是5+7+1+4+2 +8=27，余下的4位数字之和是17，这样就可以求出这100位数字的和是多少。 规范解答：4÷7=0.571428 100÷6=16(个)……4(位) 16×1+1=17(次) 16×1=16(次) 5+7+1+4+2+8=27 27×16+5+7+1+4=449 答：7出现了17次，2出现了16次；这100位数字的和是449。 1．循环小数中的周期问题 （1）2÷7的商的小数部分第50位上的数字是几?第120位上的数字是几?小数部分前100位数字的和是多少? （2）5÷13的商的小数部分第20位上的数字是几?在小数部分前80位中，数字“8”和“1”各出现了多少次? 2．数列中的周期问题 （1）20个7相乘的积的个位数字是几? （2）105个学生按照下面的规律站成四列，最后一个学生应站在第几列? 3．日期中的周期问题 （1）2020年10月1日是星期四，2021年元旦是星期几? （2）2017年8月20 日是星期日，2021年8月20日是星期几? 1．循环小数的小数部分第76位上的数字是（ ） A．5 B．6 C．9 2．从100里先减去26，再加上24；然后