专题07 一次函数与面积综合运用-2023-2024学年八年级数学上册《重难点题型•高分突破》（北师大版）

专题07 一次函数与面积综合运用（三大题型） 重难点题型归纳 【题型1 常规三角形面积】 【题型2 铅垂法求面积】 【题型3 等底转化】 【题型1 常规三角形面积】 【解题技巧】当三角形的底或高在坐标轴上，或者平行于坐标轴上，这样的三角形为常规三角形，可以直接利用三角形的面积公式进行求解。 【典例1】（2023春•永定区期末）综合与探究：如图，平面直角坐标系中，一次函数y＝图象分别交x轴、y轴于点A，B，一次函数y＝﹣x+b的图象经过点B，并与x轴交于点C，点P是直线AB上的一个动点． （1）求A，B两点的坐标； （2）并直接写出点C的坐标并求直线BC的表达式； （3）试探究直线AB上是否存在点P，使以A，C，P为顶点的三角形的面积为18？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【变式1-1】（2023春•凤山县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA，OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA，OB的长满足|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∠ABO的平分线交x轴于点C，过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E． （1）求直线AB的解析式； （2）若△ABC的面积为15，求点C的坐标； 【变式1-2】（2023春•涪陵区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B，直线l2交x轴、y轴分别于点C（﹣6，0），D（0，6），直线l2与直线l1交于点E，连接BC． （1）求直线l2的解析式； （2）求△BCE的面积； （3）连结OE，若点P是x轴上一动点，连结PE，当△POE为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标． 【变式1-3】（2023春•兰陵县期末）如图，已知函数y＝x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y＝kx+b的图象经过点B（0，﹣1），与x轴以及y＝x+1的图象分别交于点C，D，且点D的坐标为（1，n）． （1）则k＝　　，b＝　　，n＝　　； （2）求四边形AOCD的面积； （3）在x轴上是否存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是直角三角形，请求出点P的坐标． 【变式1-4】（2023春•连城县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处． （1）求AB的长； （2）求点C和点D的坐标； （3）y轴上是否存在一点P，使得S△PAB＝S△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-5】（2023春•文登区期中）如图，直线l1表达式为y＝﹣3x+3，且与x轴交于点D，直线l2经过点A（4，0），B（3，），直线l1，l2交于点C． （1）求直线l2的表达式； （2）在直线l2上存在点P，能使S△ADP＝3S△ACD，求点P的坐标． 【变式1-6】（2023•花都区一模）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+4（k≠0）交x轴于点A（8，0），交y轴于点B． （1）k的值是 　； （2）点C是直线AB上的一个动点，点D和点E分别在x轴和y轴上． ①如图，点D的坐标为（6，0），点E的坐标为（0，1），若四边形OECD的面积是9，求点C的坐标； ②当CE平行于x轴，CD平行于y轴时，若四边形OECD的周长是10，请直接写出点C的坐标． 【题型2 铅垂法求面积】 【解题技巧】对于一般三角形，我们可以选择铅垂法求解三角形的面积。比如求△ABC的面积，我们可以选取任意两点横坐标之差的绝对值作为水平宽，过第三个点作铅垂线，与之前两点所在直线交于一点，第三个点与这个交点纵坐标之差的绝对值作为铅垂高，利用水平宽与铅垂高乘积的一半求出三角形的面积。 【典例2】（2021秋•开江县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+1交y轴于点A，交x轴于点B（4，0），过点E（2，0）的直线l2平行于y轴，交直线l1于点D，点P是直线l2上一动点（异于点D），连接PA、PB． （1）求直线l1的解析式； （2）设P（2，m），求△ABP的面积S的表达式（用含m的代数式表示）； （3）当△ABP的面积为3时，则以点B为直角顶点作等腰直角△BPC，请直接写出点C的坐标． 【变式2】（秋•铁西区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，点B（5，n）在直线y＝x+2上，点C是线段AB上的一个动点，过点C作CP⊥x轴交直线点P，设点C的横坐标为m． （1）n的值为　　； （2）用含有m的式子表示线段CP的长； （3）若△APB的面积为S，求S与m之间的函数表达式，并求出当S最大时点P的坐标； （4）