专题02 一元二次方程的解法重难点题型专训-2023-2024学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版）

专题02 一元二次方程的解法重难点题型专训 【题型目录】 题型一 用直接开方法解一元二次方程 题型二 用配方法解一元二次方程 题型三 用公式法解一元二次方程 题型四 用因式分解法解一元二次方程 题型五 用换元法解一元二次方程 题型六 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型七 根据一元二次方程根的情况求参数 题型八 配方法的应用 【经典例题一 用直接开方法解一元二次方程】 【解题技巧】 开平方法：对于形如或的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解. 形如的方程的解法： 当时，; 当时，; 当时，方程无实数根。 【例1】（2023·山东淄博·校考二模）定义表示不超过实数x的最大整数，如，，．函数的图像（部分）如图所示，则方程有（    ）个解．      A．4 B．3 C．2 D．1 【变式训练】 1．（2022春·八年级单元测试）下列哪个是一元二次方程的解（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（2023·安徽·校联考模拟预测）在平面直角坐标系中，直线分别与的正半轴、的负半轴相交于两点，已知的面积等于，则的值为______． 3．（2023·全国·九年级专题练习）解方程：． 【经典例题二 用配方法解一元二次方程】 【解题技巧】 配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为的方程，再运用开平方法求解。 配方法的一般步骤： ①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； ②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1； ③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为的形式； ④求解：若时，方程的解为，若时，方程无实数解。 【例2】（2023·云南曲靖·统考二模）当满足时，方程的根是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2023·山西大同·校联考模拟预测）将方程配方成的形式，下列配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2022秋·河南驻马店·九年级校考阶段练习）若定义如果存在一个数i，使，那么当时，有，从而是方程的两个根．据此可知：方程的两根为___________（根用i表示）． 3．（2023秋·河北承德·九年级统考期末）解决问题 嘉琪同学用配方法推导一元二次方程的求根公式时，她是这样做的： 若时： ； 若时此方程无实数根． (1)嘉琪同学步骤中括号填：________． (2)根据嘉琪同学步骤回答： ①一元二次方程有实根的条件是：________． ②________，________． (3)一元二次方程，有两个不相等实数根和；用配方法解方程验证：；． 【经典例题三 用公式法解一元二次方程】 【解题技巧】 公式法：一元二次方程的根 当时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等； 当时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为； 当时，方程无实数根. 公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定的值；③代入中计算其值，判断方程是否有实数根；④若代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。 （因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一元二次方程。） 【例3】（2023·山东淄博·统考一模）若是大于1的正整数，则的三次方可以改写成若干个连续奇数的和．例如：，，，…若写成若干个连续奇数和中，最大的一个奇数是，则等于（ ） A．46 B．45 C．44 D．43 【变式训练】 1．（2021·浙江·九年级自主招生）已知正数x，y满足方程，求（    ） A． B． C．0 D．1 2．（2022春·八年级单元测试）将方程化成一般形式为，则________，此方程的根是________． 3．（2023春·浙江杭州·八年级校联考期中）如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，连结设，； (1)线段的长度是方程的一个根吗？说明理由． (2)若点是线段的中点，求的值． 【经典例题四 用因式分解法解一元二次方程】 【解题技巧】 因式分解法： ①因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：若，则； ②因式分解法的一般步骤： 若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。 （5）选用适当方法解一元二次方程 ①对于无理系数的一元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只不过应注意二次根式的化简问题。 ②方程若含有未知数的因式，选用因式分解较简便，若整理为一般式再解就较为麻烦。 （6）解含有字母系数的方程