第一章 空间向量与立体几何（单元重点综合测试）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（人教A版2019选择性必修第一册）

第1章 空间向量与立体几何（单元重点综合测试） 一、单项选择题：每题5分，共8题，共计40分。 1．已知向量，，，若，，共面，则实数（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，，且与互相垂直，则的值是（    ） A． B．2 C． D．1 3．如图，在平行六面体中，E，F分别在棱和上，且.记，若，则（    ） A． B． C． D． 4．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，AB⊥平面BCD，，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 5．已知矩形为平面外一点，且平面，分别为上的点，，则（    ） A． B． C．1 D． 6．空间内有三点，，，则点P到直线EF的距离为（    ） A． B． C． D． 7．已知正方体的棱长为4，点E是棱的中点，动点P在正方形内（包括边界）运动，且平面，则长度的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在直三棱柱中，，，，，点在棱上，点在棱上，给出下列三个结论： ①三棱锥的体积的最大值为； ②的最小值为； ③点到直线的距离的最小值为． 其中所有正确结论的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、多项选择题：每题5分，共4题，共计20分，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的不得分。 9．已知向量，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 10．下列说法错误的是（    ） A．若空间向量，则存在唯一的实数，使得 B．A，B，C三点不共线，空间中任意点O，若，则P，A，B，C四点共面 C．，，与夹角为钝角，则x的取值范围是 D．若是空间的一个基底，则O，A，B，C四点共面，但不共线 11．如图，正方体的棱长为1，是的中点，则（    ） A．直线平面 B． C．三棱锥的体积为 D．异面直线与所成的角为 12．.如图，在菱形中，，沿对角线将折起，使点，之间的距离为，若分别为直线上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．无论P运动到哪，都是锐角 B．线段的最小值为 C．平面平面 D．当分别为线段的中点时，与所成角的余弦值为 三、填空题：每题5分，共4题，共计20分。 13．已知向量为平面α的法向量，点在α内，则点到平面α的距离为 . 14．已知向量，向量，则向量在向量方向上的投影为 ． 15．,为空间直角坐标系中的两个点，，若，则 ． 16．如图，棱长为3的正方体的顶点在平面内，三条棱,,都在平面的同侧. 若顶点,到平面α的距离分别为,，则平面与平面α所成锐二面角的余弦值为 四、综合题：共6题，共计70分。 17．（本题10分）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，. （1）试用向量，，表示向量； （2）若，，，求的值. 18．（本题12分）空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴､y轴､z轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组（x，y，z）相对应，称向量的斜60°坐标为[x，y，z]，记作. (1)若，，求的斜60°坐标； (2)在平行六面体中，AB=AD=2，AA1=3，，如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”. ①若，求向量的斜60°坐标； ②若，且，求. 19．（本题12分）如图，平面，，，，，. (1)求证：平面； (2)求直线CE与平面所成角的正弦值； (3)若二面角的余弦值为，求线段的长. 20．（本题12分）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l． （1）证明：l⊥平面PDC； （2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值． 21．（本题12分）已知三棱柱中，，，，． (1)求证：平面平面ABC； (2)若，在线段AC上是否存在一点P，使二面角的平面角的余弦值为？若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由． 22．（本题12分）已知四棱锥的底面是平行四边形，平面与直线，，分别交于点P，，R且，点在直线上，为的中点，且直线平面. （1）设，，，试用基底表示向量； （2）证明，四面体中至少存在一个顶点从其出发的三条棱能够组成一个三角形； （3）证明，对所有满足条件的平面，点都落在某一条长为的线段上. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 $$ 第1章 空间向量与